Exercícios de somas de Riemann resolvidos, com respostas

Estes exercícios de somas de Riemann cobrem somas à esquerda, à direita, do ponto médio e dos trapézios, tabelas com larguras diferentes, superestimativas e subestimativas, e a transformação de um limite de somas em integral. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas.

A montagem básica:

A soma à esquerda usa a extremidade esquerda de cada subintervalo, a soma à direita usa a extremidade direita e a soma do ponto médio usa o meio. Para entender as ideias por trás, leia o guia de somas de Riemann.

Exercícios

Uma função, quatro métodos. Use f(x) = x^2 em [0, 2] com n = 4.

1. Encontre a soma de Riemann à esquerda L_4.
2. Encontre a soma de Riemann à direita R_4.
3. Encontre a soma do ponto médio M_4.
4. Encontre a soma dos trapézios T_4 e compare as quatro com o valor exato \int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3}.

Superestimativa ou subestimativa

5. Encontre a soma à esquerda L_4 para f(x) = \frac{1}{x} em [1, 3]. Ela superestima ou subestima \ln 3?
6. A velocidade de um carro é medida em alguns instantes:

Estime a distância percorrida de t = 0 a t = 6 com uma soma à esquerda, uma soma à direita e uma soma dos trapézios.

7. Para f(x) = x^2 em [0, 2], explique por que M_4 < \frac{8}{3} < T_4.

Limites de somas

8. Escreva \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{n}\left(1 + \frac{3i}{n}\right)^2 como uma integral definida e calcule-a.
9. Encontre a soma à direita R_n para f(x) = x em [0, 2] em forma fechada e depois calcule o limite quando n \to \infty.
10. Estime \int_0^{\pi}\sin x\,dx com uma soma do ponto médio, n = 4.

Respostas

Resolução passo a passo

1. \Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5, então os pontos são 0, 0.5, 1, 1.5, 2. A soma à esquerda usa os quatro primeiros:

2. A soma à direita usa os quatro últimos pontos:

3. Os pontos médios são 0.25, 0.75, 1.25, 1.75. Seus quadrados são 0.0625, 0.5625, 1.5625, 3.0625, que somam 5.25:

4. Com larguras iguais, a soma dos trapézios é a média das somas à esquerda e à direita:

O valor exato \frac{8}{3} \approx 2.667 fica entre M_4 e T_4. A soma do ponto médio é a mais próxima.

5. \Delta x = 0.5 e os pontos à esquerda são 1, 1.5, 2, 2.5:

Como \frac{1}{x} é decrescente, a extremidade esquerda de cada subintervalo é o ponto mais alto, então todo retângulo passa por cima da curva. É uma superestimativa de \ln 3 \approx 1.099.

6. As larguras são 2, 3 e 1. Multiplique cada largura pela altura correta:

• Esquerda: 2(10) + 3(14) + 1(20) = 82 m
• Direita: 2(14) + 3(20) + 1(18) = 106 m
• Trapézios: 2\cdot\frac{10+14}{2} + 3\cdot\frac{14+20}{2} + 1\cdot\frac{20+18}{2} = 24 + 51 + 19 = 94 m

7. Uma curva com concavidade para cima se curva para cima, então o lado superior de cada trapézio fica acima da curva e T_4 fica grande demais. Cada retângulo do ponto médio tem a mesma área que o trapézio sob a reta tangente nesse ponto médio, e uma curva com concavidade para cima fica acima das suas retas tangentes, então M_4 fica pequeno demais.

8. Compare com o padrão \Delta x = \frac{3}{n} e x_i = 1 + \frac{3i}{n}. O intervalo começa em 1 e tem comprimento 3, então é [1, 4], e a função é x^2:

9. \Delta x = \frac{2}{n} e x_i = \frac{2i}{n}. Use \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}:

Isso coincide com a área do triângulo \frac{1}{2}(2)(2) = 2.

10. \Delta x = \frac{\pi}{4}, e os pontos médios são \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}. Seus senos valem cerca de 0.3827, 0.9239, 0.9239, 0.3827, que somam cerca de 2.6131:

Como \sin x tem concavidade para baixo em [0, \pi], a soma do ponto médio superestima o valor exato 2.

Erros comuns nestes exercícios

• Usar n + 1 alturas. Uma soma à esquerda ou à direita com n = 4 tem exatamente quatro retângulos. Liste os pontos e risque o que você não vai usar.
• Supor larguras iguais numa tabela. No exercício 6 os intervalos são 2, 3 e 1. Usar um único \Delta x dá a resposta errada.
• Confundir as regras de superestimativa e subestimativa. Esquerda e direita dependem de a função ser crescente ou decrescente. Ponto médio e trapézios dependem da concavidade.
• Ler errado o intervalo num limite. No exercício 8, x_i = 1 + \frac{3i}{n} significa que o intervalo começa em 1, e não em 0.

Continue praticando

Para somas ilimitadas com funções novas e correção imediata, faça a lição de somas de Riemann e a lição de soma dos trapézios. Depois veja como o limite dessas somas vira uma resposta exata nos exercícios de integral definida e nos exercícios do Teorema Fundamental do Cálculo.