Exercícios de antiderivadas (primitivas) resolvidos, com respostas

Estes exercícios de antiderivadas começam com a regra da potência e avançam até funções trigonométricas, exponenciais e problemas de valor inicial. Tente cada um antes de ler a resolução. As respostas vêm primeiro para você conferir rapidamente, e as resoluções completas vêm em seguida.

A regra que você mais vai usar:

Some um ao expoente, divida pelo novo expoente e some +C. A única exceção é n = -1, em que \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. Para revisar, leia a página da regra da potência inversa.

Exercícios

Regra da potência

1. \displaystyle\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx
2. \displaystyle\int 3\sqrt{x}\,dx
3. \displaystyle\int \frac{1}{x^3}\,dx
4. \displaystyle\int \frac{5}{x}\,dx

Trigonométricas e exponenciais

5. \displaystyle\int (2e^x + \cos x)\,dx
6. \displaystyle\int (\sec^2 x - 3\sin x)\,dx
7. \displaystyle\int \frac{4}{1 + x^2}\,dx

Simplifique primeiro

8. \displaystyle\int (x^2 + 1)^2\,dx
9. \displaystyle\int \frac{x^2 + 3}{\sqrt{x}}\,dx

Problemas de valor inicial

10. Encontre f(x) sabendo que f'(x) = 6x^2 - 4 e f(1) = 5.
11. Encontre f(x) sabendo que f''(x) = 12x, f'(0) = 3 e f(0) = -1.
12. Uma partícula tem velocidade v(t) = 3t^2 - 2t e posição s(0) = 4. Encontre s(2).

Respostas

Resolução passo a passo

1. Integre termo a termo. 4x^3 vira x^4, -6x vira -3x^2 e 2 vira 2x:

2. Escreva \sqrt{x} = x^{1/2}. O novo expoente é \frac{3}{2}, então divida por \frac{3}{2}:

3. Escreva \frac{1}{x^3} = x^{-3}. O novo expoente é -2:

4. Este é o caso n = -1, então a regra da potência não se aplica. Use a regra do logaritmo (veja a integral de 1/x):

5. A derivada de e^x é e^x e a derivada de \sin x é \cos x, então:

6. A derivada de \tan x é \sec^2 x. A antiderivada de \sin x é -\cos x, então -3\sin x dá +3\cos x:

7. A derivada de \arctan x é \frac{1}{1+x^2}:

8. Expanda primeiro: (x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1. Depois integre cada termo:

9. Separe a fração: \frac{x^2}{x^{1/2}} + \frac{3}{x^{1/2}} = x^{3/2} + 3x^{-1/2}. Então:

10. A antiderivada geral é f(x) = 2x^3 - 4x + C. Use f(1) = 5: 2 - 4 + C = 5, logo C = 7:

11. Integre duas vezes, usando uma condição de cada vez. Primeiro f'(x) = 6x^2 + C_1, e f'(0) = 3 dá C_1 = 3. Depois f(x) = 2x^3 + 3x + C_2, e f(0) = -1 dá C_2 = -1:

12. A posição é uma antiderivada da velocidade: s(t) = t^3 - t^2 + C. Como s(0) = 4, C = 4. Então:

Erros comuns nestes exercícios

• Esquecer o +C. Uma integral indefinida é uma família inteira de funções. Deixar de escrever +C custa pontos na maioria das provas.
• Usar a regra da potência em \frac{1}{x}. Ela daria \frac{x^0}{0}, que não está definido. A resposta é \ln|x| + C.
• Erros de sinal com seno e cosseno. A antiderivada de \sin x é -\cos x, não \cos x. Derive a sua resposta para conferir.
• Integrar um produto fator por fator. No exercício 8, \int (x^2+1)^2\,dx não é \frac{(x^2+1)^3}{3}. Expanda primeiro ou confira derivando.
• Encontrar C tarde demais. No exercício 11, encontre C_1 antes de integrar de novo, senão você acaba com um termo desconhecido C_1 x.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com novos números e correção imediata, experimente a lição da regra da potência inversa e a lição de integrais trigonométricas e exponenciais. Quando as antiderivadas parecerem fáceis, passe para os exercícios de integral definida e os exercícios de substituição. Para entender as ideias por trás, leia o guia de antiderivadas.