Riemann-Summen: Aufgaben mit Lösungen

Diese Aufgaben zu Riemann-Summen behandeln linke, rechte, Mittelpunkt- und Trapezsummen, Tabellen mit ungleichen Abständen, zu große und zu kleine Schätzungen und das Umwandeln eines Grenzwerts von Summen in ein Integral. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Zuerst kommen die Ergebnisse, dann die vollständigen Lösungen.

Der grundlegende Ansatz:

Linke Summen verwenden das linke Ende jedes Teilintervalls, rechte Summen das rechte Ende und Mittelpunktsummen die Mitte. Die Ideen dahinter findest du im Leitfaden zu Riemann-Summen.

Aufgaben

Eine Funktion, vier Methoden. Verwende f(x) = x^2 auf [0, 2] mit n = 4.

1. Bestimme die linke Riemann-Summe L_4.
2. Bestimme die rechte Riemann-Summe R_4.
3. Bestimme die Mittelpunktsumme M_4.
4. Bestimme die Trapezsumme T_4 und vergleiche alle vier mit dem exakten Wert \int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3}.

Zu groß oder zu klein

5. Bestimme die linke Summe L_4 für f(x) = \frac{1}{x} auf [1, 3]. Ist sie eine zu große oder zu kleine Schätzung für \ln 3?
6. Die Geschwindigkeit eines Autos wird zu einigen Zeitpunkten gemessen:

Schätze die von t = 0 bis t = 6 zurückgelegte Strecke mit einer linken Summe, einer rechten Summe und einer Trapezsumme.

7. Erkläre für f(x) = x^2 auf [0, 2], warum M_4 < \frac{8}{3} < T_4 gilt.

Grenzwerte von Summen

8. Schreibe \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{n}\left(1 + \frac{3i}{n}\right)^2 als bestimmtes Integral und berechne es.
9. Bestimme die rechte Summe R_n für f(x) = x auf [0, 2] in geschlossener Form und bilde dann den Grenzwert für n \to \infty.
10. Schätze \int_0^{\pi}\sin x\,dx mit einer Mittelpunktsumme, n = 4.

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. \Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5, die Stellen sind also 0, 0.5, 1, 1.5, 2. Die linke Summe verwendet die ersten vier:

2. Die rechte Summe verwendet die letzten vier Stellen:

3. Die Mittelpunkte sind 0.25, 0.75, 1.25, 1.75. Ihre Quadrate sind 0.0625, 0.5625, 1.5625, 3.0625, zusammen 5.25:

4. Bei gleichen Breiten ist die Trapezsumme der Mittelwert aus linker und rechter Summe:

Der exakte Wert \frac{8}{3} \approx 2.667 liegt zwischen M_4 und T_4. Die Mittelpunktsumme liegt am nächsten dran.

5. \Delta x = 0.5, und die linken Stellen sind 1, 1.5, 2, 2.5:

Da \frac{1}{x} fällt, ist das linke Ende jedes Teilintervalls der höchste Punkt, und jedes Rechteck ragt über die Kurve hinaus. Die Summe ist also eine zu große Schätzung für \ln 3 \approx 1.099.

6. Die Breiten sind 2, 3 und 1. Multipliziere jede Breite mit der passenden Höhe:

• Links: 2(10) + 3(14) + 1(20) = 82 m
• Rechts: 2(14) + 3(20) + 1(18) = 106 m
• Trapez: 2\cdot\frac{10+14}{2} + 3\cdot\frac{14+20}{2} + 1\cdot\frac{20+18}{2} = 24 + 51 + 19 = 94 m

7. Eine linksgekrümmte Kurve biegt sich nach oben, also liegt die obere Kante jedes Trapezes über der Kurve, und T_4 ist zu groß. Jedes Mittelpunktrechteck hat dieselbe Fläche wie das Trapez unter der Tangente im jeweiligen Mittelpunkt, und eine linksgekrümmte Kurve liegt über ihren Tangenten, also ist M_4 zu klein.

8. Vergleiche mit dem Muster \Delta x = \frac{3}{n} und x_i = 1 + \frac{3i}{n}. Das Intervall beginnt bei 1 und hat die Länge 3, ist also [1, 4], und die Funktion ist x^2:

9. \Delta x = \frac{2}{n} und x_i = \frac{2i}{n}. Verwende \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}:

Das stimmt mit der Dreiecksfläche \frac{1}{2}(2)(2) = 2 überein.

10. \Delta x = \frac{\pi}{4}, und die Mittelpunkte sind \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}. Ihre Sinuswerte sind etwa 0.3827, 0.9239, 0.9239, 0.3827, zusammen etwa 2.6131:

Da \sin x auf [0, \pi] rechtsgekrümmt ist, überschätzt die Mittelpunktsumme den exakten Wert 2.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• n + 1 Höhen verwenden. Eine linke oder rechte Summe mit n = 4 hat genau vier Rechtecke. Liste die Stellen auf und streiche die, die du nicht brauchst.
• In einer Tabelle gleiche Breiten annehmen. In Aufgabe 6 sind die Abstände 2, 3 und 1. Ein einziges \Delta x liefert das falsche Ergebnis.
• Die Regeln für zu groß und zu klein verwechseln. Links und rechts hängen vom Steigen oder Fallen ab, Mittelpunkt und Trapez von der Krümmung.
• Das Intervall in einem Grenzwert falsch ablesen. In Aufgabe 8 bedeutet x_i = 1 + \frac{3i}{n}, dass das Intervall bei 1 beginnt und nicht bei 0.

Weiter üben

Für unbegrenzt viele Summen mit neuen Funktionen und sofortigem Feedback arbeite die Lektion zu Riemann-Summen und die Lektion zu Trapezsummen durch. Wie aus dem Grenzwert dieser Summen ein exaktes Ergebnis wird, siehst du in den Aufgaben zu bestimmten Integralen und den Aufgaben zum Hauptsatz.