Integral de cossec x: fórmula, dedução e exemplos

A integral de \csc x é -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C. Ela é a gêmea, com cossecante, da integral de sec x, e é deduzida com o mesmo truque.

Gráfico de cossec x e a área sob ele

Dedução, passo a passo

1. Multiplique por \frac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x}: \int\csc x\,dx = \int\frac{\csc^2 x + \csc x\cot x}{\csc x + \cot x}\,dx
2. Seja u = \csc x + \cot x. Usando a derivada de cossec x e a derivada de cotg x: du = (-\csc x\cot x - \csc^2 x)\,dx = -(\csc^2 x + \csc x\cot x)\,dx
3. Então o numerador é -du, e a integral é \int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C.
4. Volte à variável original: -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C.

Por que as três formas são iguais

Primeiro, (\csc x + \cot x)(\csc x - \cot x) = \csc^2 x - \cot^2 x = 1. Então

Segundo, \csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x}, e a identidade do arco metade diz que \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \tan\frac{x}{2}. Isso dá \ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert.

Verificação por derivação

Use a forma \ln\lvert\csc x - \cot x\rvert:

Integrais definidas

Em x = \frac{\pi}{2}: \csc - \cot = 1 - 0 = 1, então a primitiva vale \ln 1 = 0. Em x = \frac{\pi}{3}: \csc - \cot = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}. Assim,

A integral a partir de 0 diverge, porque \csc x tem uma assíntota vertical em x = 0 e \ln\tan\frac{x}{2} \to -\infty.

Variantes por substituição

Exemplo 1. \int\csc(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\csc 3x - \cot 3x\rvert + C.

Exemplo 2. \int\frac{dx}{2\sin x\cos x} = \int\frac{dx}{\sin 2x} = \int\csc(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\tan x\rvert + C, usando a forma do arco metade com \frac{2x}{2} = x.

Exemplo 3. \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx parece parecida, mas é a integral de cotg x, que vale \ln\lvert\sin x\rvert + C.

Erros comuns

1. Responder -\csc x\cot x. Essa é a derivada de \csc x.
2. Perder o sinal de menos na frente de \ln\lvert\csc x + \cot x\rvert. A derivada passaria a ser -\csc x.
3. Misturar as formas. -\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert está errado: o sinal de menos acompanha o mais de dentro, e vice-versa.
4. Responder -\cot x. Essa é a integral de \csc^2 x, e não de \csc x.

Pratique com os exercícios de integrais trigonométricas.