Integral de sec x (secante): fórmula, dedução e exemplos

A integral de \sec x é \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C. Ela é famosa porque a dedução padrão depende de um truque que ninguém adivinharia de primeira, e reaparece dentro de integrais mais difíceis como \int\sec^3 x\,dx.

Gráfico de sec x e a área sob ele

Dedução, passo a passo

1. Multiplique por uma forma esperta de 1: \int\sec x\,dx = \int\sec x\cdot\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\,dx = \int\frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}\,dx
2. Olhe para o denominador u = \sec x + \tan x. Sua derivada é \sec x\tan x + \sec^2 x, que é exatamente o numerador.
3. Então du = (\sec^2 x + \sec x\tan x)\,dx e a integral vira \int\frac{du}{u}.
4. Integre: \ln\lvert u\rvert + C = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C.

O passo 2 usa a derivada de sec x e a derivada de tg x. O passo 4 usa a integral de 1/x.

Verificação por derivação

Formas equivalentes

Você pode encontrar outras respostas em tabelas ou em softwares. Todas são a mesma função.

Como \sec x + \tan x = \frac{1 + \sin x}{\cos x}, elevando ao quadrado obtemos

Então \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert. Uma identidade de arco metade também dá \ln\left\lvert\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right\rvert. Esta última forma é a que a projeção cartográfica de Mercator usa para espaçar os paralelos de latitude, e foi assim que a integral foi descoberta.

Integrais definidas

Como \sec x é par, \int_{-a}^{a}\sec x\,dx = 2\ln(\sec a + \tan a) para 0 < a < \frac{\pi}{2}.

Variantes por substituição

Por exemplo, \int\sec(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec 2x + \tan 2x\rvert + C.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: reescreva antes. \int\frac{1}{\cos x}\,dx é simplesmente \int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C.

Exemplo 2: uma soma. \int(\sec x + \sec^2 x)\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + \tan x + C.

Exemplo 3: dentro de uma integral maior. A integração por partes transforma \int\sec^3 x\,dx em \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\int\sec x\,dx. Veja a integral de sec³ x.

Exemplo 4: vinda de uma substituição trigonométrica. \int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} com x = \tan\theta vira \int\sec\theta\,d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C = \ln\left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right) + C.

Erros comuns

1. Responder \sec x\tan x. Essa é a derivada de \sec x. A integral dela está na página da integral de sec x tg x, no sentido oposto.
2. Responder \ln\lvert\sec x\rvert. Essa é a integral de tg x.
3. Responder \tan x. Isso vem de \sec^2 x, e não de \sec x.
4. Esquecer o módulo em intervalos onde \sec x + \tan x < 0.

A versão com cossecante funciona do mesmo jeito: veja a integral de cossec x.