Integral de cotg x (cotangente): fórmula, dedução e exemplos
A integral de cotg x é ln|sen x| + C. Veja a substituição com u = sen x, a relação com tg x, além de cotg(ax), cotg² x e exemplos de integrais definidas.
Integrais trigonométricas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Primitiva
- \ln\lvert\sin x\rvert + C
- Forma equivalente
- -\ln\lvert\csc x\rvert + C
- Método
- Reescreva como \dfrac{\cos x}{\sin x} e faça u = \sin x
- Forma linear
- \int\cot(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert\sin(ax)\rvert + C
- Verificação
- \dfrac{d}{dx}\ln\lvert\sin x\rvert = \cot x
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A integral de \cot x é \ln\lvert\sin x\rvert + C. Ela sai de uma única substituição e é a imagem espelhada da integral de tg x.
Gráfico de cotg x e de sua primitiva
Dedução, passo a passo
- Reescreva: \displaystyle\int\cot x\,dx = \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx.
- Seja u = \sin x. Então du = \cos x\,dx.
- Substitua: \displaystyle\int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C.
- Volte com u = \sin x: \ln\lvert\sin x\rvert + C.
O passo 3 é a integral de 1/x. Como \ln\lvert\sin x\rvert = -\ln\lvert\csc x\rvert, alguns livros escrevem a resposta como -\ln\lvert\csc x\rvert + C. É a mesma função.
Verificação por derivação
O sentido direto é diferente: a derivada de cotg x é -\csc^2 x.
Comparando tg e cotg
| \tan x | \cot x | |
|---|---|---|
| Reescrita | \frac{\sin x}{\cos x} | \frac{\cos x}{\sin x} |
| Substituição | u = \cos x, du = -\sin x\,dx | u = \sin x, du = \cos x\,dx |
| Integral | -\ln\lvert\cos x\rvert + C | \ln\lvert\sin x\rvert + C |
| Derivada | \sec^2 x | -\csc^2 x |
O sinal de menos aparece para \tan x, mas não para \cot x, porque a derivada de \cos x é -\sin x, enquanto a derivada de \sin x é +\cos x.
Integrais definidas
Começar em x = 0 dá uma integral imprópria divergente, já que \ln\sin x \to -\infty quando x \to 0^+.
Variantes por substituição
Exemplo 1. \int\cot(4x)\,dx = \frac{1}{4}\ln\lvert\sin 4x\rvert + C.
Exemplo 2. \int x\cot(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sin(x^2)\rvert + C, com u = x^2.
Exemplo 3: cotg ao quadrado. Use \cot^2 x = \csc^2 x - 1:
Verificação: \frac{d}{dx}(-\cot x - x) = \csc^2 x - 1 = \cot^2 x.
Exemplo 4: uma cotg disfarçada. \int\frac{\cos x}{3\sin x + 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3\sin x + 2\rvert + C, com u = 3\sin x + 2.
Erros comuns
- Responder -\csc^2 x. Essa é a derivada de \cot x.
- Colocar um sinal de menos por analogia com \tan x. -\ln\lvert\sin x\rvert tem derivada -\cot x.
- Responder \ln\lvert\cos x\rvert. O logaritmo vai no denominador de \frac{\cos x}{\sin x}, que é \sin x.
- Esquecer o módulo. \sin x < 0 em (\pi, 2\pi).
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