Teorema de Clairaut (Schwarz): igualdade das derivadas mistas

O teorema de Clairaut (também conhecido como teorema de Schwarz) diz que, para uma função de duas variáveis bem comportada, a ordem em que você calcula as derivadas parciais mistas não importa: derivar em x e depois em y dá o mesmo resultado que derivar em y e depois em x. É por isso que uma função tem uma única matriz hessiana, e não duas.

Enunciado do teorema de Clairaut

Suponha que f(x, y) esteja definida em um disco aberto D que contém o ponto (a, b). Se as derivadas parciais mistas f_{xy} e f_{yx} são ambas contínuas em D, então

Notação: f_{xy} = (f_x)_y significa derivar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Na forma de Leibniz, f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}. O teorema se estende a mais variáveis e ordens maiores: com derivadas parciais contínuas, só importa quantas vezes cada variável aparece.

O que o teorema de Clairaut significa

f_{xy} mede como a inclinação na direção x da superfície muda quando você se move na direção y. f_{yx} mede como a inclinação na direção y muda quando você se move na direção x. Clairaut diz que essas duas "torções" da superfície são o mesmo número.

Tome f(x, y) = x^2 y. Cortar a superfície com y fixo gera as curvas y = 1: x^2, y = 2: 2x^2, y = 3: 3x^2.

Por que a continuidade importa: o contraexemplo clássico

Defina

Ao longo dos eixos, um cálculo direto pela definição de limite dá f_x(0, y) = -y e f_y(x, 0) = x. Portanto

As derivadas mistas são diferentes. Isso não contradiz o teorema de Clairaut: f_{xy} e f_{yx} não são contínuas na origem, então a hipótese falha.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: verifique Clairaut para f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy).

Passo 1. Derivadas parciais de primeira ordem:

Passo 2. Derive f_x em relação a y (regra do produto em y\cos(xy)):

Passo 3. Derive f_y em relação a x (regra do produto em x\cos(xy)):

Elas coincidem, como Clairaut prevê para uma função construída com polinômios e senos.

Exemplo 2: escolha a ordem mais fácil. Encontre f_{xy} para f(x, y) = y e^{x^2} + x\ln(1 + y^4), em qualquer (x, y).

Derivar primeiro em x significa aplicar a regra da cadeia em e^{x^2} e depois em \ln(1 + y^4). Em vez disso, use f_{xy} = f_{yx}:

Todas as derivadas parciais são contínuas em todo o plano, então f_{xy} = 2xe^{x^2} + \frac{4y^3}{1 + y^4}.

Exemplo 3: um teste para campos conservativos. Se \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle = \nabla f, então P = f_x e Q = f_y, e Clairaut obriga P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x.

• \mathbf{F} = \langle 2xy,\; x^2 + 3y^2 \rangle: P_y = 2x = Q_x, compatível com um gradiente, e de fato \mathbf{F} = \nabla(x^2 y + y^3).
• \mathbf{F} = \langle y,\; -x \rangle: P_y = 1, mas Q_x = -1, então \mathbf{F} não é o gradiente de nenhuma função.

Erros comuns

1. Ler a notação de Leibniz na ordem errada. \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} significa derivar primeiro em x. Quando Clairaut se aplica a ordem não importa, mas no contraexemplo ela importa.
2. Supor a igualdade sem continuidade. Funções definidas por partes, com um valor separado em um ponto, são justamente onde Clairaut pode falhar.
3. Achar que P_y = Q_x sozinho prova que o campo é conservativo. A condição é necessária; ela só é suficiente em uma região simplesmente conexa, uma sutileza ligada ao teorema de Green.

Teoremas e guias relacionados

Para calcular derivadas parciais, veja derivadas parciais. O teorema de Clairaut está por trás do teste do rotacional para campos conservativos, usado com o teorema de Green e o teorema de Stokes, e torna simétrica a expansão de Taylor em várias variáveis.