Satz von Schwarz: Vertauschbarkeit gemischter partieller Ableitungen

Der Satz von Schwarz (auch Satz von Clairaut oder Satz von Clairaut/Schwarz genannt) besagt, dass bei einer gutartigen Funktion zweier Variablen die Reihenfolge der gemischten partiellen Ableitungen keine Rolle spielt: Erst nach x und dann nach y abzuleiten liefert dasselbe wie erst nach y und dann nach x. Deshalb hat eine Funktion genau eine Hesse-Matrix und nicht zwei.

Aussage des Satzes von Schwarz

Sei f(x, y) auf einer offenen Kreisscheibe D definiert, die den Punkt (a, b) enthält. Sind die gemischten partiellen Ableitungen f_{xy} und f_{yx} beide stetig auf D, dann gilt

Schreibweise: f_{xy} = (f_x)_y bedeutet, zuerst nach x und dann nach y abzuleiten. In Leibniz-Form ist f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}. Der Satz lässt sich auf mehr Variablen und höhere Ordnungen übertragen: Bei stetigen partiellen Ableitungen kommt es nur darauf an, wie oft nach jeder Variablen abgeleitet wird.

Was der Satz von Schwarz bedeutet

f_{xy} misst, wie sich die x-Steigung der Fläche ändert, wenn man sich in y-Richtung bewegt. f_{yx} misst, wie sich die y-Steigung ändert, wenn man sich in x-Richtung bewegt. Der Satz sagt, dass diese beiden "Verdrehungen" der Fläche dieselbe Zahl sind.

Nimm f(x, y) = x^2 y. Schneidet man die Fläche bei festem y, erhält man die Kurven y = 1: x^2, y = 2: 2x^2, y = 3: 3x^2.

Warum die Stetigkeit wichtig ist: das klassische Gegenbeispiel

Definiere

Entlang der Achsen liefert eine direkte Rechnung mit der Grenzwertdefinition f_x(0, y) = -y und f_y(x, 0) = x. Daher gilt

Die gemischten Ableitungen stimmen nicht überein. Das widerspricht dem Satz von Schwarz nicht: f_{xy} und f_{yx} sind im Ursprung nicht stetig, also ist die Voraussetzung verletzt.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Den Satz für f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy) überprüfen.

Schritt 1. Erste partielle Ableitungen:

Schritt 2. f_x nach y ableiten (Produktregel bei y\cos(xy)):

Schritt 3. f_y nach x ableiten (Produktregel bei x\cos(xy)):

Sie stimmen überein, wie es der Satz von Schwarz für eine Funktion aus Polynomen und Sinusfunktionen vorhersagt.

Beispiel 2: die einfachere Reihenfolge wählen. Bestimme f_{xy} für f(x, y) = y e^{x^2} + x\ln(1 + y^4) für beliebige (x, y).

Erst nach x abzuleiten heißt, die Kettenregel auf e^{x^2} und danach auf \ln(1 + y^4) anzuwenden. Nutze stattdessen f_{xy} = f_{yx}:

Alle partiellen Ableitungen sind überall stetig, also ist f_{xy} = 2xe^{x^2} + \frac{4y^3}{1 + y^4}.

Beispiel 3: Test auf ein konservatives Feld. Ist \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle = \nabla f, dann gilt P = f_x und Q = f_y, also erzwingt der Satz von Schwarz P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x.

• \mathbf{F} = \langle 2xy,\; x^2 + 3y^2 \rangle: P_y = 2x = Q_x, verträglich mit einem Gradienten, und tatsächlich ist \mathbf{F} = \nabla(x^2 y + y^3).
• \mathbf{F} = \langle y,\; -x \rangle: P_y = 1, aber Q_x = -1, also ist \mathbf{F} nicht der Gradient irgendeiner Funktion.

Häufige Fehler

1. Leibniz-Schreibweise in der falschen Reihenfolge lesen. \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} bedeutet, zuerst nach x abzuleiten. Wenn der Satz von Schwarz gilt, spielt die Reihenfolge keine Rolle, im Gegenbeispiel aber schon.
2. Gleichheit ohne Stetigkeit annehmen. Abschnittsweise definierte Funktionen mit einem gesondert festgelegten Wert in einem Punkt sind genau die Stellen, an denen der Satz versagen kann.
3. Glauben, dass P_y = Q_x allein beweist, dass ein Feld konservativ ist. Die Bedingung ist notwendig, hinreichend ist sie nur auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet, eine Feinheit, die mit dem Satz von Green zusammenhängt.

Verwandte Sätze und Anleitungen

Wie man partielle Ableitungen berechnet, erfährst du unter partielle Ableitungen. Der Satz von Schwarz steckt hinter dem Rotationstest für konservative Felder, der beim Satz von Green und beim Satz von Stokes verwendet wird, und er macht die mehrdimensionale Taylor-Entwicklung symmetrisch.