Uneigentliche Integrale: Konvergenz, p-Integrale und Beispiele

Kann ein Bereich, der sich endlos ausdehnt, eine endliche Fläche haben? Überraschenderweise oft ja. Der Bereich unter y = \frac{1}{x^2} rechts von x = 1 endet nie, trotzdem ist seine Fläche genau 1. Mit uneigentlichen Integralen misst die Analysis solche Flächen, und sie tauchen überall auf, von der Wahrscheinlichkeitsrechnung bis zum Integralkriterium für Reihen.

Was ist ein uneigentliches Integral?

Ein gewöhnliches bestimmtes Integral \int_a^b f(x)\,dx braucht ein endliches Intervall und eine Funktion, die darauf endlich bleibt. Ein uneigentliches Integral verletzt eine dieser Regeln:

• Typ 1: eine unendliche Integrationsgrenze, etwa \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx.
• Typ 2: eine Polstelle, an der der Integrand irgendwo in [a, b] über alle Grenzen wächst, etwa \int_0^1 \frac{1}{\sqrt x}\,dx.

In beiden Fällen ist die Lösung dieselbe: Ersetze die problematische Stelle durch eine Variable, berechne ein gewöhnliches Integral und bilde einen Grenzwert.

Ist der Grenzwert eine endliche Zahl, konvergiert das Integral gegen diese Zahl. Ist der Grenzwert unendlich oder existiert er nicht, divergiert das Integral.

Typ 1: unendliche Integrationsgrenzen

Rechenbeispiel 1: 1/x² von 1 bis unendlich

Berechne \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx.

Schritt 1. Als Grenzwert schreiben.

Schritt 2. Auf [1, b] integrieren.

Schritt 3. Den Grenzwert bilden. Für b\to\infty gilt \frac1b\to 0:

Das Integral konvergiert gegen 1.

Rechenbeispiel 2: 1/x von 1 bis unendlich

Berechne \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx.

Das Integral divergiert. Die Fläche unter \frac1x wächst unbegrenzt, nur sehr langsam.

Das Bild zeigt, wie nah diese beiden Fälle beieinanderliegen. Beide Kurven gehen durch (1, 1), und beide laufen gegen null. Der Unterschied ist das Tempo: \frac{1}{x^2} schrumpft schnell genug, damit sich die Gesamtfläche einpendelt, \frac1x nicht.

Rechenbeispiel 3: ein exponentieller Ausläufer

Berechne \int_0^\infty e^{-x}\,dx.

Das Integral konvergiert gegen 1. Exponentieller Zerfall ist so schnell, dass solche Ausläufer fast immer konvergieren.

Rechenbeispiel 4: beide Grenzen unendlich

Berechne \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx.

Sind beide Grenzen unendlich, teilst du das Integral an einer beliebigen passenden Stelle auf (0 ist am einfachsten) und berechnest jede Hälfte einzeln:

Beide Hälften konvergieren, also konvergiert das ganze Integral gegen \pi. Würde eine der Hälften divergieren, würde das ganze Integral divergieren.

Divergenz ohne unendliche Fläche

Ein Integral kann divergieren, auch wenn die Fläche nie unendlich wird. Betrachte \int_0^\infty \cos x\,dx:

Der Wert von \sin b schwankt endlos zwischen -1 und 1, also existiert der Grenzwert nicht, und das Integral divergiert. Konvergenz verlangt, dass sich der Grenzwert auf eine einzige endliche Zahl einpendelt.

Typ 2: Polstellen im Integranden

Wächst der Integrand an einer Grenze über alle Grenzen, näherst du dich dieser Stelle mit einem Grenzwert von innerhalb des Intervalls.

Rechenbeispiel 5: 1/√x von 0 bis 1

Berechne \int_0^1 \frac{1}{\sqrt x}\,dx. Der Integrand ist bei x = 0 unendlich.

Das Integral konvergiert gegen 2, obwohl der Graph am linken Rand ins Unendliche schießt.

Rechenbeispiel 6: ln x von 0 bis 1

Berechne \int_0^1 \ln x\,dx. Hier gilt \ln x \to -\infty für x \to 0^+.

Schritt 1. Den Grenzwert aufschreiben. \displaystyle\lim_{t\to0^+}\int_t^1 \ln x\,dx.

Schritt 2. Die Stammfunktion bestimmen. Partielle Integration liefert \int \ln x\,dx = x\ln x - x.

Schritt 3. Auf [t, 1] auswerten.

Schritt 4. Den Grenzwert bilden. Für t\to0^+ gilt t \to 0, und auch t\ln t \to 0 (schreib es als \frac{\ln t}{1/t} und verwende die Regel von L'Hospital). Also gilt

Die Antwort ist negativ, weil \ln x < 0 auf (0, 1) ist: Der Bereich liegt unterhalb der x-Achse.

Rechenbeispiel 7: die Falle der versteckten Unstetigkeitsstelle

Berechne \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx.

Ignorierst du das Problem bei x = 0 und setzt blind ein, erhältst du \left[-\frac1x\right]_{-1}^1 = -1 - 1 = -2. Das kann nicht stimmen: Der Integrand ist überall positiv, die Fläche kann also nicht negativ sein.

Richtig ist es, an der Unstetigkeitsstelle aufzuteilen:

Die rechte Hälfte ist \lim_{t\to0^+}\left[-\frac1x\right]_t^1 = \lim_{t\to0^+}\left(-1 + \frac1t\right) = \infty. Da eine Hälfte divergiert, divergiert das ganze Integral.

Tipp: Durchsuche vor dem Berechnen jedes bestimmten Integrals das Intervall nach Stellen, an denen ein Nenner null wird, ein Logarithmus null als Argument bekommt oder ein Tangens \frac{\pi}{2} erreicht. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt nur, wenn die Funktion auf dem ganzen Intervall stetig ist.

Die Regel für p-Integrale

Die Beispiele oben sind Spezialfälle einer Regel, die du dir merken solltest. Für p > 0:

Beachte, dass p = 1 (die Funktion \frac1x) auf beiden Intervallen divergiert. Sie liegt genau auf der Grenze.

Das Vergleichskriterium für uneigentliche Integrale

Viele Integranden haben keine einfache Stammfunktion. Über die Konvergenz kannst du trotzdem entscheiden, indem du sie mit etwas Bekanntem vergleichst, meist einem p-Integral oder einer Exponentialfunktion. Angenommen, 0 \le g(x) \le f(x) gilt für x \ge a:

• Konvergiert \int_a^\infty f(x)\,dx, dann konvergiert auch das kleinere \int_a^\infty g(x)\,dx (Majorantenkriterium).
• Divergiert \int_a^\infty g(x)\,dx, dann divergiert auch das größere \int_a^\infty f(x)\,dx (Minorantenkriterium).

Merke es dir so: "Kleiner als endlich ist endlich, größer als unendlich ist unendlich."

Rechenbeispiel 8: Vergleich, um Konvergenz zu zeigen

Konvergiert \int_1^\infty \frac{2 + \cos x}{x^2}\,dx?

Da \cos x \le 1 ist, ist der Zähler höchstens 3, also gilt 0 < \frac{2+\cos x}{x^2} \le \frac{3}{x^2}. Und \int_1^\infty \frac{3}{x^2}\,dx = 3 konvergiert (ein p-Integral mit p = 2). Nach dem Vergleichskriterium konvergiert das ursprüngliche Integral.

Rechenbeispiel 9: Vergleich, um Divergenz zu zeigen

Divergiert \int_2^\infty \frac{1}{\ln x}\,dx?

Für x \ge 2 gilt \ln x < x, also \frac{1}{\ln x} > \frac{1}{x}. Da \int_2^\infty \frac1x\,dx divergiert, divergiert auch das größere Integral.

Dieselbe Idee, angewendet auf Summen statt Flächen, liefert die Vergleichskriterien für Reihen. Wie das zusammenhängt, siehst du unter Konvergenzkriterien.

Warum uneigentliche Integrale wichtig sind

Uneigentliche Integrale sind keine bloße Lehrbuchkuriosität. Sie tauchen überall dort auf, wo sich eine Größe über einen unbegrenzten Bereich aufsummiert:

• Wahrscheinlichkeitsrechnung. Eine Wahrscheinlichkeitsdichte muss über der ganzen reellen Achse die Gesamtfläche 1 haben. Die berühmte Glockenkurve beruht auf \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.
• Physik. Die Arbeit, die nötig ist, um eine Rakete unendlich weit von der Erde wegzubringen, ist ein Integral von \frac{1}{r^2} bis ins Unendliche, und es konvergiert. Dieser endliche Wert macht die Fluchtgeschwindigkeit überhaupt erst möglich.
• Reihen. Das Integralkriterium entscheidet, ob eine Summe wie \sum \frac{1}{n^2} konvergiert, indem es das passende uneigentliche Integral prüft.

Typische Fehler bei uneigentlichen Integralen

1. Eine Unstetigkeitsstelle im Inneren übersehen. Wie Beispiel 7 zeigt, liefert das eine endliche Antwort für ein divergentes Integral.
2. \infty wie eine Zahl behandeln. Schreib den Grenzwert hin. Ausdrücke wie -\frac{1}{\infty} sind bestenfalls eine Abkürzung, und sie verstecken Fehler.
3. \int_{-\infty}^\infty mit einem einzigen Grenzwert aufteilen. \lim_{b\to\infty}\int_{-b}^b f(x)\,dx ist nicht die Definition. Ungerade Funktionen wie x ergeben so 0, aber \int_{-\infty}^\infty x\,dx divergiert.
4. In die falsche Richtung vergleichen. Kleiner als ein divergentes Integral zu sein beweist nichts, und größer als ein konvergentes ebenso wenig.
5. Vergessen, dass sich die p-Regel auf [0, 1] umkehrt. \int_0^1 \frac{dx}{x^2} divergiert, obwohl \int_1^\infty \frac{dx}{x^2} konvergiert.

Konvergenz erkennen üben

Uneigentliche Integrale werden intuitiv, sobald du genug davon gesehen hast: Du spürst dann, dass \frac{1}{x^2} sich einpendelt und \frac1x nicht, bevor du einen einzigen Grenzwert aufschreibst. Die interaktive Lektion unten führt dich mit sofortiger Rückmeldung durch jeden Typ, sodass du dieses Gespür zusammen mit der Technik aufbaust.