Integrales impropias: convergencia, integrales p y ejemplos

¿Puede una región que se extiende para siempre tener un área finita? Sorprendentemente, a menudo sí. La región bajo y = \frac{1}{x^2} a la derecha de x = 1 nunca termina y, aun así, su área es exactamente 1. Las integrales impropias son la forma en que el cálculo mide áreas como esta, y aparecen en todas partes, desde la probabilidad hasta el criterio de la integral para series.

¿Qué es una integral impropia?

Una integral definida ordinaria \int_a^b f(x)\,dx necesita un intervalo finito y una función que se mantenga finita en él. Una integral impropia rompe una de esas reglas:

• Tipo 1: un límite de integración infinito, como \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx.
• Tipo 2: una discontinuidad infinita, donde el integrando se dispara en algún punto de [a, b], como \int_0^1 \frac{1}{\sqrt x}\,dx.

En ambos casos la solución es la misma: sustituye el punto problemático por una variable, calcula una integral ordinaria y toma un límite.

Si el límite es un número finito, la integral converge a ese número. Si el límite es infinito o no existe, la integral diverge.

Tipo 1: límites de integración infinitos

Ejemplo resuelto 1: 1/x² de 1 a infinito

Calcula \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx.

Paso 1. Escríbela como un límite.

Paso 2. Integra en [1, b].

Paso 3. Toma el límite. Cuando b\to\infty, \frac1b\to 0:

La integral converge a 1.

Ejemplo resuelto 2: 1/x de 1 a infinito

Calcula \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx.

La integral diverge. El área bajo \frac1x crece sin límite, solo que muy despacio.

La imagen muestra lo cerca que están estos dos casos. Las dos curvas pasan por (1, 1) y las dos se dirigen a cero. La diferencia es la velocidad: \frac{1}{x^2} se reduce lo bastante rápido para que el área total se estabilice, y \frac1x no.

Ejemplo resuelto 3: una cola exponencial

Calcula \int_0^\infty e^{-x}\,dx.

La integral converge a 1. El decaimiento exponencial es tan rápido que sus colas casi siempre convergen.

Ejemplo resuelto 4: los dos límites infinitos

Calcula \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx.

Cuando los dos extremos son infinitos, divide la integral en cualquier punto que te convenga (0 es lo más fácil) y calcula cada mitad por separado:

Las dos mitades convergen, así que la integral completa converge a \pi. Si cualquiera de las dos mitades divergiera, la integral completa divergiría.

Divergencia sin dispararse

Una integral puede divergir aunque el área nunca se haga infinita. Considera \int_0^\infty \cos x\,dx:

El valor de \sin b sigue oscilando entre -1 y 1 para siempre, así que el límite no existe y la integral diverge. La convergencia exige que el límite se estabilice en un único número finito.

Tipo 2: discontinuidades infinitas

Cuando el integrando se dispara en un extremo, acércate a ese extremo con un límite desde dentro del intervalo.

Ejemplo resuelto 5: 1/√x de 0 a 1

Calcula \int_0^1 \frac{1}{\sqrt x}\,dx. El integrando es infinito en x = 0.

La integral converge a 2, aunque la gráfica se dispare hacia el infinito en el borde izquierdo.

Ejemplo resuelto 6: ln x de 0 a 1

Calcula \int_0^1 \ln x\,dx. Aquí \ln x \to -\infty cuando x \to 0^+.

Paso 1. Escribe el límite. \displaystyle\lim_{t\to0^+}\int_t^1 \ln x\,dx.

Paso 2. Halla la antiderivada. La integración por partes da \int \ln x\,dx = x\ln x - x.

Paso 3. Evalúa en [t, 1].

Paso 4. Toma el límite. Cuando t\to0^+, t \to 0, y también t\ln t \to 0 (escríbelo como \frac{\ln t}{1/t} y usa la regla de L'Hôpital). Así que

La respuesta es negativa porque \ln x < 0 en (0, 1): la región está por debajo del eje x.

Ejemplo resuelto 7: la trampa de la discontinuidad escondida

Calcula \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx.

Si ignoras el problema en x = 0 y sustituyes a ciegas, obtienes \left[-\frac1x\right]_{-1}^1 = -1 - 1 = -2. Eso no puede ser: el integrando es positivo en todas partes, así que el área no puede ser negativa.

La forma correcta es dividir en la discontinuidad:

La mitad derecha es \lim_{t\to0^+}\left[-\frac1x\right]_t^1 = \lim_{t\to0^+}\left(-1 + \frac1t\right) = \infty. Como una mitad diverge, la integral completa diverge.

Consejo: antes de calcular cualquier integral definida, revisa el intervalo en busca de puntos donde el denominador sea cero, un logaritmo llegue a cero o una tangente llegue a \frac{\pi}{2}. El Teorema Fundamental del Cálculo solo se aplica cuando la función es continua en todo el intervalo.

La regla de las integrales p

Los ejemplos anteriores son casos particulares de una regla que vale la pena memorizar. Para p > 0:

Fíjate en que p = 1 (la función \frac1x) diverge en los dos intervalos. Está justo en la frontera.

El criterio de comparación para integrales impropias

Muchos integrandos no tienen una antiderivada sencilla. Aun así puedes decidir la convergencia comparándolos con algo que conoces, normalmente una integral p o una exponencial. Supón que 0 \le g(x) \le f(x) para x \ge a:

• Si \int_a^\infty f(x)\,dx converge, entonces la menor, \int_a^\infty g(x)\,dx, también converge.
• Si \int_a^\infty g(x)\,dx diverge, entonces la mayor, \int_a^\infty f(x)\,dx, también diverge.

Piénsalo así: "lo que es menor que algo finito es finito; lo que es mayor que algo infinito es infinito".

Ejemplo resuelto 8: comparación para demostrar convergencia

¿Converge \int_1^\infty \frac{2 + \cos x}{x^2}\,dx?

Como \cos x \le 1, el numerador vale como mucho 3, así que 0 < \frac{2+\cos x}{x^2} \le \frac{3}{x^2}. Y \int_1^\infty \frac{3}{x^2}\,dx = 3 converge (una integral p con p = 2). Por comparación, la integral original converge.

Ejemplo resuelto 9: comparación para demostrar divergencia

¿Diverge \int_2^\infty \frac{1}{\ln x}\,dx?

Para x \ge 2, \ln x < x, así que \frac{1}{\ln x} > \frac{1}{x}. Como \int_2^\infty \frac1x\,dx diverge, la integral mayor también diverge.

La misma idea, aplicada a sumas en lugar de áreas, da los criterios de comparación para series. Consulta criterios de convergencia para ver cómo se relacionan.

Por qué importan las integrales impropias

Las integrales impropias no son solo una curiosidad de libro de texto. Aparecen siempre que una cantidad se acumula sobre un rango ilimitado:

• Probabilidad. Una densidad de probabilidad debe tener área total 1 sobre toda la recta real. La famosa campana de Gauss se apoya en \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.
• Física. El trabajo necesario para llevar un cohete infinitamente lejos de la Tierra es una integral de \frac{1}{r^2} hasta el infinito, y converge. Ese valor finito es lo que hace posible la velocidad de escape.
• Series. El criterio de la integral decide si una suma como \sum \frac{1}{n^2} converge comprobando la integral impropia correspondiente.

Errores comunes con las integrales impropias

1. No ver una discontinuidad interior. Como muestra el ejemplo 7, esto da una respuesta finita a una integral divergente.
2. Tratar \infty como un número. Escribe el límite. Expresiones como -\frac{1}{\infty} son, como mucho, una abreviatura, y esconden errores.
3. Dividir \int_{-\infty}^\infty con un solo límite. \lim_{b\to\infty}\int_{-b}^b f(x)\,dx no es la definición. Las funciones impares como x dan 0 de esa forma, pero \int_{-\infty}^\infty x\,dx diverge.
4. Comparar en el sentido equivocado. Ser menor que una integral divergente no demuestra nada, y tampoco ser mayor que una convergente.
5. Olvidar que la regla p se invierte en [0, 1]. \int_0^1 \frac{dx}{x^2} diverge aunque \int_1^\infty \frac{dx}{x^2} converja.

Practica a detectar la convergencia

Las integrales impropias se vuelven intuitivas cuando has visto suficientes: empiezas a intuir que \frac{1}{x^2} se estabiliza y \frac1x no antes de escribir un solo límite. La lección interactiva de abajo te guía por cada tipo con corrección inmediata, para que desarrolles esa intuición junto con la técnica.