Taux de variation liés : méthode pas à pas, échelle et cône

On gonfle un ballon avec un débit d'air constant. Son rayon augmente-t-il lui aussi à vitesse constante ? Non, et déterminer exactement à quelle vitesse il augmente est un problème de taux de variation liés. Ces problèmes font peur à beaucoup d'élèves parce que les énoncés sont longs, mais ils suivent tous la même courte recette. Une fois qu'on la voit, l'échelle, le ballon et le cône sont le même problème sous différents costumes.

Que sont les taux de variation liés ?

Dans un problème de taux de variation liés, deux grandeurs ou plus varient au cours du temps et sont reliées par une équation. On connaît la vitesse de variation de l'une d'elles, et on cherche celle d'une autre à un instant précis.

L'outil est la dérivation implicite par rapport au temps. Si x et y dépendent tous deux de t, la règle de dérivation en chaîne donne, par exemple,

Chaque variable fait apparaître son propre taux. C'est cette seule équation qui « lie » les taux.

La méthode des taux de variation liés

1. Faites un dessin et attribuez une variable à chaque grandeur qui change. Notez les constantes avec leur valeur.
2. Listez ce que vous savez et ce que vous cherchez, sous forme de taux : par exemple « on sait que \frac{dx}{dt} = 2, on cherche \frac{dy}{dt} quand x = 6 ».
3. Écrivez une équation reliant les variables (Pythagore, une formule de volume, des triangles semblables).
4. Dérivez les deux membres par rapport à t.
5. Remplacez par les valeurs à l'instant considéré, puis résolvez pour trouver le taux inconnu. Indiquez les unités et vérifiez le signe.

La règle la plus importante se trouve aux étapes 4 et 5 : d'abord dériver, ensuite remplacer.

Exemple corrigé 1 : l'échelle qui glisse

Une échelle de 10 mètres est appuyée contre un mur. Le pied s'éloigne du mur à 2 mètres par seconde. À quelle vitesse le haut glisse-t-il vers le bas quand le pied est à 6 mètres du mur ?

Étape 1. Dessin. Soit x la distance du mur au pied de l'échelle et y la hauteur du haut de l'échelle. La longueur de l'échelle, 10, est constante.

Étape 2. Connu et cherché. On sait que \frac{dx}{dt} = 2 m/s. On cherche \frac{dy}{dt} quand x = 6.

Étape 3. Équation. Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle :

Étape 4. Dériver par rapport à t.

Étape 5. Remplacer et résoudre. Quand x = 6, l'équation donne y = \sqrt{100 - 36} = 8. Donc

Réponse : le haut glisse vers le bas à 1,5 mètre par seconde. Le signe négatif signifie que la hauteur diminue, ce qui correspond au dessin.

Le graphique montre ce que la formule cache. La courbe devient de plus en plus raide quand x s'approche de 10 : même si le pied avance à vitesse constante de 2 m/s, le haut tombe de plus en plus vite vers la fin.

Exemple corrigé 2 : le ballon qui gonfle

On injecte de l'air dans un ballon sphérique à 100 centimètres cubes par seconde. À quelle vitesse le rayon augmente-t-il quand il vaut 5 cm ?

Étape 1. Dessin. Une sphère de rayon r et de volume V, tous deux variables.

Étape 2. Connu et cherché. On sait que \frac{dV}{dt} = 100 cm³/s. On cherche \frac{dr}{dt} quand r = 5.

Étape 3. Équation. Le volume d'une sphère :

Étape 4. Dériver par rapport à t.

Étape 5. Remplacer et résoudre.

Réponse : à cet instant, le rayon augmente d'environ 0,32 cm par seconde.

Cela répond à la question du début. En résolvant l'étape 4 de façon générale, on obtient \frac{dr}{dt} = \frac{100}{4\pi r^2} = \frac{25}{\pi r^2}, qui diminue quand r augmente. L'air entre à débit constant, mais il doit se répartir sur une surface de plus en plus grande, donc le rayon augmente de plus en plus lentement.

On peut pousser le même exemple plus loin. L'aire de la surface est S = 4\pi r^2, donc \frac{dS}{dt} = 8\pi r\frac{dr}{dt} = 8\pi(5)\cdot\frac{1}{\pi} = 40 cm²/s au même instant.

Exemple corrigé 3 : remplir un réservoir conique

Un réservoir a la forme d'un cône renversé de 12 mètres de haut, avec un rayon de 4 mètres au sommet. L'eau y entre à 2 mètres cubes par minute. À quelle vitesse le niveau de l'eau monte-t-il quand l'eau a 6 mètres de profondeur ?

Étape 1. Dessin. L'eau forme un cône plus petit, de profondeur h et de rayon de surface r, tous deux variables.

Étape 2. Connu et cherché. On sait que \frac{dV}{dt} = 2 m³/min. On cherche \frac{dh}{dt} quand h = 6.

Étape 3. Équation. Le volume du cône est V = \frac{1}{3}\pi r^2 h, qui contient deux variables. On élimine r grâce aux triangles semblables : le cône d'eau a la même forme que le réservoir, donc

On substitue cette relation (elle est vraie à chaque instant, on peut donc l'utiliser maintenant) :

Étape 4. Dériver par rapport à t.

Étape 5. Remplacer et résoudre. Avec h = 6 :

Réponse : le niveau de l'eau monte d'environ 0,16 mètre par minute, soit à peu près 16 centimètres par minute.

Astuce : dans les problèmes de cône, éliminez le rayon avec les triangles semblables avant de dériver. Sinon, il vous reste à la fois \frac{dr}{dt} et \frac{dh}{dt} avec une seule équation.

Erreurs fréquentes : remplacer trop tôt, et les autres

1. Remplacer par les valeurs avant de dériver. C'est la plus grave. Dans le problème de l'échelle, supposons que vous remplaciez d'abord x = 6 :

En dérivant maintenant, on obtient 2y\frac{dy}{dt} = 0, donc \frac{dy}{dt} = 0. Cela voudrait dire que le haut de l'échelle ne bouge pas, ce qui est absurde. En remplaçant x = 6, vous avez figé x et effacé \frac{dx}{dt}. Les valeurs à « l'instant considéré » sont un instantané ; ne les remplacez qu'une fois la dérivée calculée.

L'exception est une vraie constante. La longueur de l'échelle, 10, et les dimensions du réservoir, 4 et 12, ne changent jamais : on peut les utiliser dès le début. La relation r = \frac{h}{3} est aussi sans danger, car elle est vraie à chaque instant.

2. Oublier un facteur de taux. \frac{d}{dt}(r^3) = 3r^2\frac{dr}{dt}, et non 3r^2. Chaque variable qui change porte son propre taux.

3. Se tromper de signe. Si une grandeur diminue (un réservoir qui se vide, le haut d'une échelle qui tombe), son taux est négatif. Entrez-le ainsi, et vérifiez le signe de votre réponse sur le dessin.

4. Oublier des valeurs. Dans le problème de l'échelle, on vous donne x, mais il vous faut aussi y. Utilisez l'équation de départ pour le trouver.

5. Mélanger les unités. Les taux ont des unités comme m/s ou cm³/s. Si un taux est en minutes et un autre en secondes, convertissez avant de remplacer.

Mémo

Prenez confiance par l'entraînement

Les taux de variation liés ne paraissent difficiles que jusqu'à ce que la méthode devienne une habitude : dessin, équation, dérivation, puis substitution. La leçon interactive ci-dessous découpe chaque problème en ces étapes et donne une correction immédiate, pour apprendre à repérer une substitution trop précoce ou un taux oublié avant qu'ils ne vous coûtent des points en contrôle.