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Anwendungen der Ableitung

Verknüpfte Änderungsraten: Methode mit Leiter- und Kegelbeispiel

Verknüpfte Änderungsraten sicher berechnen: rutschende Leiter, Luftballon und Kegeltank vollständig gerechnet, plus typische Fehler.

Vom PracticeCalculus-Team Veröffentlicht 6 Min. Lesezeit

Auf dieser Seite
  1. Was sind verknüpfte Änderungsraten?
  2. Das Verfahren
  3. Rechenbeispiel 1: die rutschende Leiter
  4. Rechenbeispiel 2: der Luftballon
  5. Rechenbeispiel 3: einen kegelförmigen Tank füllen
  6. Typische Fehler: zu frühes Einsetzen und mehr
  7. Kurzübersicht
  8. Mit Übung sicher werden

Luft wird gleichmäßig in einen Ballon gepumpt. Wächst dann auch der Radius gleichmäßig? Nein, und genau herauszufinden, wie schnell er wächst, ist eine Aufgabe zu verknüpften Änderungsraten. Diese Aufgaben schrecken viele ab, weil sie so textlastig sind, aber sie folgen alle demselben kurzen Rezept. Sobald du es siehst, sind Leiter, Ballon und Kegel dieselbe Aufgabe in verschiedenen Kostümen.

Was sind verknüpfte Änderungsraten?

Bei einer Aufgabe zu verknüpften Änderungsraten ändern sich zwei oder mehr Größen mit der Zeit und sind durch eine Gleichung miteinander verbunden. Du weißt, wie schnell sich eine davon ändert, und willst wissen, wie schnell sich eine andere in einem bestimmten Moment ändert.

Das Werkzeug ist implizites Differenzieren nach der Zeit. Hängen x und y beide von t ab, liefert die Kettenregel zum Beispiel

\frac{d}{dt}\left(x^2 + y^2\right) = 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt}

Jede Variable bekommt ihre eigene Rate. Durch diese eine Gleichung werden die Raten "verknüpft".

Das Verfahren

  1. Zeichne eine Skizze und bezeichne jede veränderliche Größe mit einer Variablen. Konstanten beschriftest du mit ihren Zahlen.
  2. Notiere, was du weißt und was du suchst, als Raten: zum Beispiel "bekannt \frac{dx}{dt} = 2, gesucht \frac{dy}{dt} bei x = 6".
  3. Stelle eine Gleichung zwischen den Variablen auf (Pythagoras, eine Volumenformel, ähnliche Dreiecke).
  4. Leite beide Seiten nach t ab.
  5. Setze die Werte im betrachteten Moment ein und löse nach der gesuchten Rate auf. Gib Einheiten an und prüfe das Vorzeichen.

Die wichtigste Regel steckt in den Schritten 4 und 5: erst ableiten, dann einsetzen.

Rechenbeispiel 1: die rutschende Leiter

Eine 10 m lange Leiter lehnt an einer Wand. Ihr Fuß rutscht mit 2 m pro Sekunde von der Wand weg. Wie schnell rutscht das obere Ende nach unten, wenn der Fuß 6 m von der Wand entfernt ist?

Schritt 1. Skizze. Sei x der Abstand von der Wand zum Fuß der Leiter und y die Höhe des oberen Endes. Die Leiterlänge 10 ist konstant.

Schritt 2. Bekannt und gesucht. Bekannt \frac{dx}{dt} = 2 m/s. Gesucht \frac{dy}{dt} bei x = 6.

Schritt 3. Gleichung. Wand, Boden und Leiter bilden ein rechtwinkliges Dreieck:

x^2 + y^2 = 100

Schritt 4. Nach t ableiten.

2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0

Schritt 5. Einsetzen und auflösen. Bei x = 6 liefert die Gleichung y = \sqrt{100 - 36} = 8. Also

2(6)(2) + 2(8)\frac{dy}{dt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 24 + 16\frac{dy}{dt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt} = -\frac{3}{2}

Antwort: Das obere Ende rutscht mit 1,5 m pro Sekunde nach unten. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Höhe abnimmt, und das passt zur Skizze.

Höhe des oberen Leiterendes y = √(100 - x²) in Abhängigkeit vom Abstand des Fußes, mit der Tangente bei x = 6
Bei x = 6 hat die Kurve die Steigung \frac{dy}{dx} = -\frac{6}{8} = -0.75. Bewegt sich der Fuß mit 2 m/s, bewegt sich das obere Ende also mit -0.75 \times 2 = -1.5 m/s.

Der Graph zeigt etwas, das die Formel verbirgt. Die Kurve wird steiler, je näher x an 10 kommt. Selbst wenn sich der Fuß gleichmäßig mit 2 m/s bewegt, fällt das obere Ende gegen Ende also immer schneller.

Rechenbeispiel 2: der Luftballon

In einen kugelförmigen Ballon werden 100 Kubikzentimeter Luft pro Sekunde gepumpt. Wie schnell wächst der Radius, wenn er 5 cm beträgt?

Schritt 1. Skizze. Eine Kugel mit Radius r und Volumen V, beide veränderlich.

Schritt 2. Bekannt und gesucht. Bekannt \frac{dV}{dt} = 100 cm³/s. Gesucht \frac{dr}{dt} bei r = 5.

Schritt 3. Gleichung. Das Kugelvolumen:

V = \tfrac{4}{3}\pi r^3

Schritt 4. Nach t ableiten.

\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}

Schritt 5. Einsetzen und auflösen.

100 = 4\pi(5)^2\frac{dr}{dt} = 100\pi\frac{dr}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi} \approx 0.318 \text{ cm/s}

Antwort: Der Radius wächst in diesem Moment mit etwa 0,32 cm pro Sekunde.

Damit ist die Eingangsfrage beantwortet. Löst du Schritt 4 allgemein, erhältst du \frac{dr}{dt} = \frac{100}{4\pi r^2} = \frac{25}{\pi r^2}, und das wird kleiner, wenn r wächst. Die Luft strömt mit konstanter Rate hinein, muss sich aber auf eine immer größere Oberfläche verteilen, deshalb wächst der Radius immer langsamer.

Wachstumsrate des Radius dr/dt = 25/(πr²) bei einem Ballon, der mit 100 cm³/s gefüllt wird
Je größer der Ballon, desto langsamer wächst der Radius. Bei r = 5 gilt \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi} \approx 0.32 cm/s.

Du kannst dasselbe Beispiel weiterführen. Die Oberfläche ist S = 4\pi r^2, also gilt im selben Moment \frac{dS}{dt} = 8\pi r\frac{dr}{dt} = 8\pi(5)\cdot\frac{1}{\pi} = 40 cm²/s.

Rechenbeispiel 3: einen kegelförmigen Tank füllen

Ein Tank ist ein auf der Spitze stehender Kegel, 12 m hoch, mit einem oberen Radius von 4 m. Es fließen 2 Kubikmeter Wasser pro Minute hinein. Wie schnell steigt der Wasserspiegel, wenn das Wasser 6 m tief ist?

Schritt 1. Skizze. Das Wasser bildet einen kleineren Kegel mit Tiefe h und Oberflächenradius r, beide veränderlich.

Schritt 2. Bekannt und gesucht. Bekannt \frac{dV}{dt} = 2 m³/min. Gesucht \frac{dh}{dt} bei h = 6.

Schritt 3. Gleichung. Das Kegelvolumen ist V = \frac{1}{3}\pi r^2 h, mit zwei veränderlichen Größen. Beseitige r mit ähnlichen Dreiecken: Der Wasserkegel hat dieselbe Form wie der Tank, also

\frac{r}{h} = \frac{4}{12} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{h}{3}

Setze diese Beziehung ein (sie gilt in jedem Moment, du darfst sie also jetzt schon verwenden):

V = \frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{3}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{27}

Schritt 4. Nach t ableiten.

\frac{dV}{dt} = \frac{3\pi h^2}{27}\frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{9}\frac{dh}{dt}

Schritt 5. Einsetzen und auflösen. Mit h = 6:

2 = \frac{\pi(36)}{9}\frac{dh}{dt} = 4\pi\frac{dh}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dh}{dt} = \frac{1}{2\pi} \approx 0.159 \text{ m/min}

Antwort: Der Wasserspiegel steigt mit etwa 0,16 m pro Minute, also rund 16 cm pro Minute.

Tipp: Beseitige bei Kegelaufgaben den Radius mit ähnlichen Dreiecken vor dem Ableiten. Sonst bleiben dir \frac{dr}{dt} und \frac{dh}{dt}, aber nur eine Gleichung.

Typische Fehler: zu frühes Einsetzen und mehr

1. Zahlen vor dem Ableiten einsetzen. Das ist der größte Fehler. Angenommen, du setzt bei der Leiteraufgabe zuerst x = 6 ein:

36 + y^2 = 100

Ableiten liefert jetzt 2y\frac{dy}{dt} = 0, also \frac{dy}{dt} = 0. Das hieße, das obere Ende der Leiter bewegt sich nicht, und das ist absurd. Durch das Einsetzen von x = 6 hast du x eingefroren und \frac{dx}{dt} gelöscht. Die Werte im "betrachteten Moment" sind eine Momentaufnahme. Setze sie erst ein, wenn die Ableitung gebildet ist.

Die Ausnahme ist eine echte Konstante. Die Leiterlänge 10 und die Tankmaße 4 und 12 ändern sich nie, die darfst du von Anfang an verwenden. Auch die Beziehung r = \frac{h}{3} ist unbedenklich, weil sie in jedem Augenblick gilt.

2. Einen Ratenfaktor vergessen. \frac{d}{dt}(r^3) = 3r^2\frac{dr}{dt}, nicht 3r^2. Jede veränderliche Größe trägt ihre eigene Rate.

3. Falsche Vorzeichen. Wird eine Größe kleiner (ein Tank, der leerläuft, ein fallendes Leiterende), ist ihre Rate negativ. Setze sie so ein und prüfe das Vorzeichen deines Ergebnisses an der Skizze.

4. Fehlende Werte. Bei der Leiter ist x gegeben, aber du brauchst auch y. Bestimme es mit der ursprünglichen Gleichung.

5. Einheiten durcheinanderbringen. Raten haben Einheiten wie m/s oder cm³/s. Ist eine Rate in Minuten und eine andere in Sekunden angegeben, rechne vor dem Einsetzen um.

Kurzübersicht

Aufgabentyp Gleichung Nach dem Ableiten
Leiter, Abstand x^2 + y^2 = L^2 x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} = 0
Kugelvolumen V = \frac{4}{3}\pi r^3 \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}
Kreisfläche A = \pi r^2 \frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}
Kegel, r = kh V = \frac{1}{3}\pi k^2 h^3 \frac{dV}{dt} = \pi k^2 h^2\frac{dh}{dt}
Zylinder, festes r V = \pi r^2 h \frac{dV}{dt} = \pi r^2\frac{dh}{dt}

Mit Übung sicher werden

Verknüpfte Änderungsraten fühlen sich nur so lange schwer an, bis das Verfahren zur Gewohnheit wird: Skizze, Gleichung, ableiten, dann einsetzen. Die interaktive Lektion unten zerlegt jede Aufgabe in diese Schritte und gibt dir sofort Rückmeldung, damit du ein zu frühes Einsetzen oder eine fehlende Rate bemerkst, bevor es dich in der Klausur Punkte kostet.

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Verknüpfte Änderungsraten

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Häufig gestellte Fragen

Was sind verknüpfte Änderungsraten?
Bei diesen Aufgaben ändern sich zwei oder mehr Größen mit der Zeit und sind durch eine Gleichung verbunden. Du weißt, wie schnell sich eine davon ändert, und bestimmst mit der Ableitung der Gleichung nach der Zeit, wie schnell sich eine andere in einem bestimmten Moment ändert.

Wie löst man Aufgaben zu verknüpften Änderungsraten?
Zeichne eine Skizze, notiere bekannte und gesuchte Raten, stelle eine Gleichung zwischen den Größen auf, leite beide Seiten nach t ab, setze dann die Werte im betrachteten Moment ein und löse nach der gesuchten Rate auf.

Warum darf ich die Zahlen nicht vor dem Ableiten einsetzen?
Weil sich die Größen ändern. Setzt du x = 6 vor dem Ableiten ein, wird x zu einer Konstanten mit Ableitung null, und genau die Rate, die du brauchst, geht verloren. Nur Größen, die wirklich konstant sind, etwa die Länge einer Leiter, darfst du früh einsetzen.

Warum ist die Rate bei der Leiteraufgabe negativ?
Das obere Ende der Leiter bewegt sich nach unten, seine Höhe nimmt also ab. Eine abnehmende Größe hat eine negative Ableitung. Das Ergebnis \frac{dy}{dt} = -1.5 Meter pro Sekunde bedeutet, dass das obere Ende mit 1,5 Metern pro Sekunde nach unten rutscht.

Ist das dasselbe wie implizites Differenzieren?
Es ist dieselbe Technik, nur leitest du nach der Zeit t statt nach x ab. Jede Variable wird als Funktion von t behandelt und bekommt deshalb ihren eigenen Ratenfaktor wie \frac{dx}{dt} oder \frac{dr}{dt}.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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