MAT1162 PUC-Rio Cálculo a Várias Variáveis I: ementa e exercícios

A MAT1162 Cálculo a Várias Variáveis I é a disciplina da PUC-Rio que leva o cálculo de uma para duas e três variáveis. Oferecida pelo Departamento de Matemática, vale 4 créditos e, pelo catálogo oficial de ementas, aceita como pré-requisito qualquer uma de MAT1158, MAT1161, MAT1181 ou MAT1341. Este guia associa cada tema da ementa a exercícios com correção imediata.

O que a MAT1162 cobre

A ementa começa com funções de duas e três variáveis: gráfico, domínio e imagem, e as noções de continuidade e diferenciabilidade. A partir daí vem a aproximação linear, que na prática é o plano tangente, e a classificação de pontos críticos.

Para extremos em regiões, a ementa usa o teorema de Weierstrass, que garante máximo e mínimo de uma função contínua num conjunto fechado e limitado, e os multiplicadores de Lagrange, para extremos com restrição.

A segunda metade é de integrais duplas e triplas, calculadas em coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas.

Em termos internacionais, a MAT1162 corresponde às partes de derivadas parciais e integrais múltiplas de um Calculus 3. O cálculo vetorial (integrais de linha e de superfície) não está na ementa.

Mapa de temas da MAT1162

A sequência de cálculo da PUC-Rio

Exemplos de exercícios no nível da MAT1162

1. Aproximação linear. Para f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2} em (3, 4): f = 5, f_x = \frac{3}{5}, f_y = \frac{4}{5}. Então f(3{,}1;\ 3{,}9) \approx 5 + \frac{3}{5}(0{,}1) + \frac{4}{5}(-0{,}1) = 4{,}98.

2. Classificação. f(x,y) = x^3 - 3x + y^2 tem pontos críticos (\pm 1, 0). Em (1, 0): f_{xx} = 6 > 0 e D = 6\cdot 2 > 0, mínimo local. Em (-1, 0): D = -12 < 0, ponto de sela.

3. Coordenadas esféricas. O volume da bola de raio R:

Como ir bem na MAT1162

• Visualize gráficos e curvas de nível. Muitas questões ficam claras com um bom desenho.
• Para extremos em regiões, siga o roteiro de Weierstrass: pontos críticos no interior, extremos na fronteira (com Lagrange ou parametrização) e compare os valores.
• Lembre o Jacobiano: r em polares e cilíndricas, \rho^2\sin\varphi em esféricas.
• Pratique na prática e revise os erros comuns de cálculo.

Dica: a aproximação linear em várias variáveis é a mesma ideia da reta tangente, só que com um termo para cada variável. Se você entende f(a) + f'(a)(x - a), já entende o plano tangente.