Análise Matemática II Coimbra: programa, guia e exercícios

Análise Matemática II é a segunda unidade curricular de cálculo das licenciaturas em Engenharia Civil e em Engenharia do Ambiente da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. Segundo a ficha da unidade curricular, é do 2.º semestre do 1.º ano, vale 6 ECTS (162 horas de trabalho) e tem 42 horas teóricas e 28 teórico-práticas de contacto. Os conhecimentos de base recomendados são Análise Matemática I e Álgebra Linear e Geometria Analítica. Este guia liga cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

O que Análise Matemática II cobre

O programa tem duas partes. A primeira é o cálculo integral em \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3: o integral duplo e as suas aplicações, o integral triplo e as suas aplicações, a mudança de variáveis nos integrais duplos e triplos, o integral curvilíneo e o teorema de Green, e o integral de superfície com os teoremas de Stokes e da divergência.

A segunda parte é de equações diferenciais lineares: equações de 1.ª ordem de variáveis separáveis e lineares; equações lineares de ordem superior resolvidas pelos métodos do polinómio anulador, de abaixamento de ordem e da variação das constantes; e sistemas de equações lineares com coeficientes constantes, que usam a álgebra linear do 1.º semestre.

Em termos internacionais, a primeira parte corresponde à metade integral de um Calculus 3; a segunda equivale a uma introdução às equações diferenciais.

Mapa de temas de Análise Matemática II

As equações lineares de ordem superior e os sistemas lineares não têm lição própria aqui; as lições acima cobrem as ferramentas de cálculo que esses métodos usam.

As unidades de análise em Engenharia Civil

Exemplos de exercícios ao nível de AM II

1. Integral duplo em polares. A área do disco de raio 2 é \int_0^{2\pi}\!\int_0^2 r\,dr\,d\theta = 4\pi.

2. Teorema da divergência. Para \mathbf{F} = (x^2, y, z) no cubo [0,1]^3: \nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + 2, e o fluxo para fora é

3. EDO linear de ordem 2. y'' + 4y = 0 tem polinómio característico r^2 + 4, com raízes \pm 2i. A solução geral é y = c_1\cos 2x + c_2\sin 2x.

Como ter sucesso em AM II

• Desenha as regiões e as superfícies. A maioria dos erros em integrais múltiplos está nos limites de integração.
• Escolhe as coordenadas pela simetria: polares para discos, cilíndricas para cilindros, esféricas para bolas.
• Pratica com regularidade na prática e consulta o formulário.
• Revê os erros comuns de cálculo antes da frequência e do exame.

Dica: Green, Stokes e a divergência dizem todos o mesmo: o integral de uma "derivada" numa região é igual a um integral na fronteira. Pensar neles como versões do Teorema Fundamental do Cálculo ajuda a decidir qual usar.