Análise Matemática I Coimbra: programa, guia e exercícios

Análise Matemática I é a primeira unidade curricular de cálculo das licenciaturas em Engenharia Civil e em Engenharia do Ambiente da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. Segundo a ficha da unidade curricular, é semestral, do 1.º semestre do 1.º ano, vale 6 ECTS (162 horas de trabalho) e tem 42 horas teóricas e 28 teórico-práticas de contacto. Este guia liga cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

O que Análise Matemática I cobre

O programa está dividido em três capítulos. O primeiro trata de sucessões e funções reais de variável real: sucessões, funções trigonométricas e hiperbólicas e respetivas inversas, limites, continuidade e diferenciabilidade, e a fórmula de Taylor.

O segundo capítulo é de integração: primitivas, o integral definido e as suas aplicações, e integrais impróprios.

O terceiro capítulo introduz as funções reais de duas ou três variáveis: limite e continuidade, derivadas parciais e direcionais e a regra da cadeia, plano tangente, e extremos, incluindo extremos condicionados com multiplicadores de Lagrange.

Em termos internacionais, AM I cobre um Calculus 1 completo, a parte de integrais impróprios de um Calculus 2 e o início do cálculo diferencial de um Calculus 3.

Mapa de temas de Análise Matemática I

As unidades de análise em Engenharia Civil

Exemplos de exercícios ao nível de AM I

1. Fórmula de Taylor. O polinómio de Taylor de ordem 3 de \sin x em torno de 0 é x - \frac{x^3}{6}. Para x = 0{,}2 dá 0{,}198667, com erro inferior a \frac{0{,}2^5}{120} \approx 2{,}7\times 10^{-6}.

2. Integral impróprio. \displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\left[2\sqrt{x}\right]_\varepsilon^1 = 2, logo converge.

3. Extremo condicionado. Maximizar f(x,y) = x + y sobre x^2 + y^2 = 2: (1, 1) = \lambda(2x, 2y) dá x = y, logo x = y = 1 e o máximo é 2.

Como ter sucesso em AM I

• Revê a Matemática A logo no início. Trigonometria e funções exponenciais e logarítmicas são usadas desde a primeira semana.
• Pratica primitivas com regularidade na prática; são a base do capítulo de integração.
• Consulta o formulário para derivadas das funções hiperbólicas e trigonométricas inversas.
• Revê os erros comuns de cálculo antes de cada frequência ou exame.

Dica: o capítulo de várias variáveis chega no fim do semestre, quando o tempo aperta. Começa a treinar derivadas parciais cedo: são derivadas normais, com as outras variáveis tratadas como constantes.