Derivada de xˣ: fórmula, demonstração e exemplos

A derivada de x^x é x^x(\ln x + 1). É o exemplo clássico de função que precisa de derivação logarítmica.

Por que as regras usuais falham

Aplicar a regra da potência dá x\cdot x^{x-1} = x^x, e aplicar a regra da exponencial dá x^x\ln x. As duas estão erradas. Curiosamente, a resposta correta é a soma delas.

Método 1: derivação logarítmica

Seja y = x^x. Aplique o logaritmo natural dos dois lados para descer o expoente:

Derive os dois lados. O lado esquerdo precisa de derivação implícita, e o lado direito precisa da regra do produto (é a derivada de x ln x):

Multiplique por y = x^x:

Método 2: reescrever na base e

Como x = e^{\ln x}, temos x^x = e^{x\ln x}. Agora use a regra da cadeia com função de fora e^u:

Os dois métodos são, no fundo, a mesma ideia. Use o que parecer mais natural.

Gráfico de xˣ e de sua derivada

Como x^x > 0, o sinal da derivada depende só de \ln x + 1. Ele é negativo para x < \frac{1}{e} e positivo depois, então o mínimo está em x = \frac{1}{e}. Seu valor é \left(e^{-1}\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.692.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: inclinação em x = 2. \frac{d}{dx}x^x\big|_{x = 2} = 2^2(\ln 2 + 1) = 4(1.693) \approx 6.77.

Exemplo 2: x elevado a sen x. Seja y = x^{\sin x}. Então \ln y = \sin x\ln x, e

Exemplo 3: x elevado a 1/x. Seja y = x^{1/x}. Então \ln y = \frac{\ln x}{x}, e a regra do quociente dá

Isso se anula em x = e, então x^{1/x} é máxima em x = e, com valor e^{1/e} \approx 1.445.

Exemplo 4: x elevado a x ao quadrado. Para y = x^{x^2}, \ln y = x^2\ln x, então y' = x^{x^2}(2x\ln x + x).

Erros comuns

1. Regra da potência: x\cdot x^{x-1} = x^x. Errado, porque o expoente não é constante.
2. Regra da exponencial: x^x\ln x. Errado, porque a base não é constante.
3. Esquecer de multiplicar por y no final da derivação logarítmica, deixando só \ln x + 1.

Para mais sobre esse método, veja os exercícios de derivação implícita e a derivada de 2ˣ e aˣ.