Exercícios de derivação implícita resolvidos, com respostas

Estes exercícios de derivação implícita começam com circunferências e produtos simples, depois acrescentam funções trigonométricas e exponenciais, e terminam com retas tangentes, tangentes horizontais e uma derivada segunda. Tente cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

O fato principal: como y depende de x, a regra da cadeia dá

Assim, \frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx} e \frac{d}{dx}\sin y = \cos y\frac{dy}{dx}. Abaixo, y' significa \frac{dy}{dx}. Para revisar, veja a regra da derivação implícita ou o guia de derivação implícita.

Exercícios

Encontre dy/dx

1. x^2 + y^2 = 25
2. xy = 8
3. \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5
4. x^2 + xy + y^2 = 7
5. x^3 + y^3 = 6xy

Trigonométricas e exponenciais

6. \tan y = x
7. e^y = x^2 + y
8. \cos(xy) = y

Retas tangentes e derivadas segundas

9. Encontre a reta tangente a x^2 + y^2 = 25 em (3, -4).
10. Encontre a reta tangente a x^2 + xy + y^2 = 7 em (1, 2).
11. Encontre os pontos em que x^2 + xy + y^2 = 7 tem reta tangente horizontal.
12. Encontre y'' para x^2 + y^2 = 25, apenas em função de y.

Respostas

Resolução passo a passo

1. Derive os dois lados. O lado direito é uma constante:

2. O lado esquerdo é um produto, então use a regra do produto:

3. Escreva as raízes como potências de \frac{1}{2}:

4. O termo do meio exige a regra do produto:

Junte os termos com y': y'(x + 2y) = -(2x + y), então

5. O lado direito 6xy exige a regra do produto:

Leve os termos com y' para a esquerda e o resto para a direita: y'(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2. Divida por 3:

6. Derive os dois lados: \sec^2 y\cdot y' = 1, então y' = \frac{1}{\sec^2 y}. Use \sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2:

É exatamente assim que se demonstra a derivada de arctg x, já que \tan y = x significa y = \arctan x.

7. Derive: e^y\,y' = 2x + y'. Junte os termos com y':

8. O lado esquerdo é uma regra da cadeia com um produto dentro:

Distribua: -y\sin(xy) - x\sin(xy)\,y' = y'. Junte os termos com y' à direita:

9. Pelo exercício 1, y' = -\frac{x}{y}. Em (3, -4) a inclinação é -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}:

10. Primeiro confira o ponto: 1 + 2 + 4 = 7. Pelo exercício 4, a inclinação em (1, 2) é

11. Uma tangente horizontal exige y' = 0, então o numerador da resposta do exercício 4 precisa ser zero: 2x + y = 0, ou seja, y = -2x. Substitua na curva:

Então y = -2x dá os dois pontos da tabela de respostas. Nos dois pontos o denominador x + 2y = -3x não é zero, então a inclinação é de fato 0.

12. Parta de y' = -\frac{x}{y} e use a regra do quociente:

Substitua y' = -\frac{x}{y}:

Na curva, x^2 + y^2 = 25, então y'' = -\frac{25}{y^3}.

Erros comuns nestes exercícios

• Esquecer o y' nos termos com y. \frac{d}{dx}y^2 é 2y\,y', não 2y. Todo termo com y precisa carregar esse fator.
• Tratar xy como uma única variável. No exercício 2, \frac{d}{dx}(xy) exige a regra do produto, o que dá dois termos.
• Derivar a constante como se fosse algo. No exercício 1, a derivada de 25 é 0.
• Não substituir y' na derivada segunda. No exercício 12, troque y' por -\frac{x}{y} antes de simplificar.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com novas curvas e correção imediata, experimente a lição de derivação implícita. A derivação implícita em relação ao tempo é a principal ferramenta nos exercícios de taxas relacionadas, e é com ela que se demonstram as derivadas das funções trigonométricas inversas.