Exercícios de área entre curvas resolvidos, com respostas

Estes exercícios de área entre curvas começam com regiões simples e avançam para curvas que se cruzam e integração em relação a y. Tente cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rapidamente, e depois as resoluções completas.

A fórmula:

Encontre onde as curvas se encontram, decida qual está em cima e integre a diferença. Para uma explicação mais longa, com figuras, leia o guia de área entre curvas.

Exercícios

Duas curvas, uma região

1. y = x e y = x^2
2. y = 4 - x^2 e y = 0
3. y = 2x e y = x^2
4. y = x^2 - 4 e y = 2 - x
5. y = \sqrt{x} e y = x^2

Limites dados

6. y = \cos x e y = \sin x de x = 0 a x = \frac{\pi}{4}
7. y = e^x e y = 1 de x = 0 a x = 1
8. y = x e y = \frac{1}{x} de x = 1 a x = 2

Montagens mais difíceis

9. A região limitada por x = y^2 e x = y + 2
10. A área total entre y = x^3 e y = x em [-1, 1]

Respostas

Resolução passo a passo

1. Faça x = x^2: x = 0 ou x = 1. Em x = \frac{1}{2}, a reta dá 0.5 e a parábola 0.25, então a reta está em cima:

2. A parábola corta o eixo x em x = \pm 2:

3. Faça 2x = x^2: x = 0 ou x = 2. Em x = 1, a reta está mais alta:

4. Faça x^2 - 4 = 2 - x: x^2 + x - 6 = 0, logo x = -3 ou x = 2. Em x = 0, a reta dá 2 e a parábola -4, então a reta está em cima:

5. As curvas se encontram em x = 0 e x = 1, e \sqrt{x} está em cima entre esses pontos:

6. Em \left[0, \frac{\pi}{4}\right], \cos x \geq \sin x:

7. Em [0, 1], e^x \geq 1:

8. Para x > 1, x > \frac{1}{x}:

9. As duas curvas estão escritas como x em função de y, então integre em y. Faça y^2 = y + 2: y = -1 ou y = 2. Em y = 0, a reta dá x = 2 e a parábola x = 0, então a reta está à direita:

10. As curvas se encontram em x = -1, 0, 1. Em [0, 1], x \geq x^3. Em [-1, 0], x^3 \geq x. Por simetria, as duas partes são iguais:

Integrar x - x^3 em [-1, 1] de uma só vez dá 0, o que está errado.

Erros comuns nestes exercícios

• A de baixo menos a de cima. Uma resposta negativa denuncia o erro. Teste um ponto para achar a curva de cima.
• Não dividir no cruzamento. No exercício 10, uma única integral faz as duas regiões se cancelarem e dá 0.
• Usar os limites errados. Os limites vêm de onde as curvas se encontram, não dos pontos em que uma das curvas corta o eixo x.
• Misturar x e y. No exercício 9, o integrando e os limites precisam estar ambos em y.

Continue praticando

Para regiões ilimitadas com correção imediata, experimente a lição de área entre curvas e a lista de prática de aplicações. Em seguida, gire essas regiões em torno de um eixo nos exercícios de volume de revolução.