Exercícios de volume de sólidos de revolução, com respostas

Estes exercícios de volume de revolução cobrem os métodos dos discos, das arruelas e das cascas cilíndricas, a rotação em torno do eixo y e a rotação em torno de retas que não são eixos coordenados. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rápido, depois as resoluções completas.

As três fórmulas, para rotação em torno do eixo x ou do eixo y:

Para ver figuras de cada fatia, leia o guia de volumes de revolução.

Exercícios

Discos em torno do eixo x

1. y = \sqrt{x}, 0 \le x \le 4, em torno do eixo x
2. y = x^2, 0 \le x \le 1, em torno do eixo x
3. y = \sqrt{9 - x^2}, -3 \le x \le 3, em torno do eixo x
4. y = \sin x, 0 \le x \le \pi, em torno do eixo x

Arruelas

5. A região entre y = x e y = x^2, em torno do eixo x
6. A região entre y = \sqrt{x} e y = x, em torno do eixo x

Em torno do eixo y

7. A região entre y = x^2, y = 4 e o eixo y (x \ge 0), em torno do eixo y, por discos
8. A região abaixo de y = x - x^2 em [0, 1], em torno do eixo y, por cascas
9. A região abaixo de y = x^2 em [0, 2], em torno do eixo y, por cascas

Outros eixos

10. A região entre y = x e y = x^2, em torno da reta y = -1
11. A região entre y = x^2 e y = 1, em torno da reta y = 1

Respostas

Resolução passo a passo

1. Cada fatia é um disco de raio \sqrt{x}:

2. O raio é x^2, então R^2 = x^4:

3. O quadrado do raio é 9 - x^2:

É uma esfera de raio 3, e \frac{4}{3}\pi(3)^3 = 36\pi. Boa conferência.

4. Use \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}:

5. Em [0, 1], a reta y = x está mais longe do eixo, então R = x e r = x^2:

6. Em [0, 1], \sqrt{x} \ge x, então R = \sqrt{x} e r = x:

7. Fatie na horizontal. Na altura y, o raio é x = \sqrt{y}, então R^2 = y:

8. Uma casca em x tem raio x e altura x - x^2:

9. Uma casca em x tem raio x e altura x^2:

Os exercícios 7 e 9 descrevem sólidos diferentes que, por acaso, têm o mesmo volume. O exercício 7 é o sólido que preenche a tigela do paraboloide; o exercício 9 é o sólido abaixo da tigela, entre ela e o cilindro x = 2. Juntos, eles preenchem um cilindro de raio 2 e altura 4, com volume 16\pi.

10. Meça a partir de y = -1. O raio externo é x + 1 e o raio interno é x^2 + 1:

11. A região encosta na reta y = 1, então use discos. O raio é 1 - x^2, e as curvas se encontram em x = \pm 1:

Erros comuns nestes exercícios

• Escrever (R - r)^2. No exercício 5, \pi\int(x - x^2)^2\,dx dá \frac{\pi}{30}, e não \frac{2\pi}{15}. Eleve cada raio ao quadrado separadamente.
• Medir a partir do eixo errado. No exercício 10, os raios são x + 1 e x^2 + 1, e não x e x^2.
• Esquecer o \pi ou o 2\pi. As fórmulas dos discos e das arruelas começam com \pi. A fórmula das cascas começa com 2\pi.
• Misturar variáveis. Fatias horizontais exigem tudo em y, inclusive os limites.

Continue praticando

Para sólidos ilimitados com correção imediata, faça a lição de discos, a lição de arruelas e a lição de seções transversais. Se uma região se estende até o infinito, os exercícios de integrais impróprias mostram como lidar com ela.