Derivada de arctg x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de arctg x é 1/(1 + x²). Veja a demonstração a partir de tg y = x, exemplos com a regra da cadeia como arctg(2x) e arctg(x²) e o gráfico.
Derivadas das trigonométricas inversas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- \dfrac{1}{1 + x^2} para todo x real
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\arctan u = \dfrac{u'}{1 + u^2}
- Domínio de arctg x
- todos os números reais
- Imagem de arctg x
- \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
- Versão para integrais
- \int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan x + C
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A derivada de \arctan x é \dfrac{1}{1 + x^2}. Ao contrário do arcsen e do arccos, não há raiz quadrada nem restrição de domínio: a fórmula vale para todo número real.
Gráfico de arctg x e de sua derivada
A derivada é uma curva em forma de sino, sempre positiva, então \arctan x é sempre crescente. Como a derivada tende a 0 nas duas extremidades, o gráfico fica cada vez mais plano em direção a \pm\frac{\pi}{2}.
Demonstração da derivada de arctg x
Seja y = \arctan x, então \tan y = x com -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}. Derive os dois lados com derivação implícita, usando a derivada de tg x:
A identidade pitagórica \sec^2 y = 1 + \tan^2 y transforma isso em uma expressão em x:
Desta vez não é preciso escolher sinal, já que 1 + x^2 é sempre positivo.
Versão com a regra da cadeia: derivada de arctg(u)
Com a regra da cadeia:
| Função | Função de dentro u | Derivada |
|---|---|---|
| \arctan(2x) | 2x | \frac{2}{1 + 4x^2} |
| \arctan(x^2) | x^2 | \frac{2x}{1 + x^4} |
| \arctan(e^x) | e^x | \frac{e^x}{1 + e^{2x}} |
| \arctan(\sqrt{x}) | \sqrt{x} | \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)} |
| \arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) | \frac{x}{a} | \frac{a}{a^2 + x^2} |
A última linha fornece a integral padrão \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: arctg de 1/x. Para x \ne 0,
Isso é o oposto da derivada do arctg, então \arctan x + \arctan\frac{1}{x} é constante de cada lado de 0. Vale \frac{\pi}{2} para x > 0 e -\frac{\pi}{2} para x < 0.
Exemplo 2: regra do produto. Para f(x) = x\arctan x:
Exemplo 3: reta tangente. Em x = 1, \arctan 1 = \frac{\pi}{4} e a inclinação é \frac{1}{2}. A reta tangente é y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(x - 1).
Erros comuns
- Escrever \sec^2 x. Essa é a derivada de \tan x, não de \arctan x.
- Escrever \frac{1}{1 + x}. O x está ao quadrado. Confira: em x = 1 a inclinação tem de ser \frac{1}{2}.
- Esquecer de elevar ao quadrado toda a função de dentro. \arctan(3x) dá 1 + 9x^2, não 1 + 3x^2.
- Confundir com \frac{1}{\tan x} = \cot x. \tan^{-1} x é a função inversa.
Lida de trás para frente, esta derivada fornece a integral de 1/(1 + x²). A própria integral de arctg x usa integração por partes. Veja também a função arco tangente e os exercícios de derivadas de trigonométricas inversas.
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