Exercícios de taxas relacionadas resolvidos, com respostas

Cada um destes exercícios de taxas relacionadas descreve uma situação em que duas ou mais grandezas variam juntas. Você sabe a rapidez com que uma varia e precisa da taxa de outra. Monte cada problema antes de conferir. As respostas vêm logo depois da lista, seguidas das resoluções completas.

Todo exercício segue os mesmos cinco passos:

1. Faça um desenho e dê nome às grandezas que variam.
2. Anote a taxa conhecida e a taxa procurada, com unidades e sinais.
3. Escreva uma equação que relacione as grandezas.
4. Derive os dois lados em relação a t.
5. Substitua os valores no instante dado e resolva.

Para saber mais sobre o método, leia o guia de taxas relacionadas.

Exercícios

Fórmulas de geometria

1. Onda. Uma pedra cai em um lago e forma uma onda circular. O raio cresce a 3 cm/s. Com que rapidez a área dentro da onda cresce quando o raio é 10 cm?
2. Balão. Bombeia-se ar em um balão esférico a 100 cm³/s. Com que rapidez o raio aumenta quando o raio é 5 cm?
3. Cubo crescendo. As arestas de um cubo crescem a 0.5 cm/s. Com que rapidez o volume cresce quando cada aresta mede 4 cm?

Triângulos retângulos

4. Escada escorregando. Uma escada de 10 pés está apoiada em uma parede. A base é puxada para longe da parede a 2 pés/s. Com que rapidez o topo escorrega parede abaixo quando a base está a 6 pés da parede?
5. Ângulo da escada. No exercício 4, com que rapidez varia o ângulo entre a escada e o chão nesse mesmo instante?
6. Dois carros. O carro A sai de um cruzamento rumo ao norte a 60 mi/h. Ao mesmo tempo, o carro B sai rumo ao leste a 45 mi/h. Com que rapidez cresce a distância entre eles depois de 2 horas?
7. Balão e observador. Um balão de ar quente sobe na vertical a 4 m/s. Um observador está a 300 m do ponto de lançamento. Com que rapidez varia o ângulo de elevação do observador até o balão quando o balão está a 400 m de altura?

Semelhança de triângulos e curvas

8. Enchendo um cone. Um tanque de água tem forma de cone com o vértice para baixo. Ele tem 12 pés de altura e 4 pés de raio no topo. A água entra a 9 pés³/min. Com que rapidez o nível da água sobe quando a água tem 6 pés de profundidade?
9. Sombra. Uma pessoa de 6 pés de altura se afasta de um poste de luz de 15 pés a 5 pés/s. Com que rapidez cresce o comprimento da sua sombra?
10. Ponto em movimento. Um ponto se move ao longo da curva y = x^2 de modo que sua coordenada x aumenta a 3 unidades/s. Com que rapidez varia sua distância até a origem quando o ponto está em (2, 4)?

Respostas

Resolução passo a passo

1. Conhecido: \frac{dr}{dt} = 3. Procurado: \frac{dA}{dt} quando r = 10. A área do círculo é A = \pi r^2. Derive em relação a t:

2. Conhecido: \frac{dV}{dt} = 100. Procurado: \frac{dr}{dt} quando r = 5. O volume é V = \frac{4}{3}\pi r^3:

3. Conhecido: \frac{ds}{dt} = 0.5. Procurado: \frac{dV}{dt} quando s = 4. O volume é V = s^3:

4. Seja x a distância da parede até a base e y a altura do topo. Conhecido: \frac{dx}{dt} = 2. Procurado: \frac{dy}{dt} quando x = 6. O comprimento da escada é fixo:

Quando x = 6, y = \sqrt{100 - 36} = 8. Derive:

O sinal de menos significa que o topo está descendo.

5. Seja \theta o ângulo junto ao chão. Então \cos\theta = \frac{x}{10}. Derive:

Nesse instante \sin\theta = \frac{y}{10} = \frac{8}{10}, então

O ângulo diminui à medida que a escada escorrega.

6. Seja y a distância do carro A para o norte, x a distância do carro B para o leste e z a distância entre eles. Depois de 2 horas, y = 120, x = 90 e z = \sqrt{90^2 + 120^2} = 150. De x^2 + y^2 = z^2:

7. Seja h a altura e \theta o ângulo de elevação. Conhecido: \frac{dh}{dt} = 4. O observador está a 300 m, então \tan\theta = \frac{h}{300}. Derive:

Quando h = 400, a linha de visada mede \sqrt{300^2 + 400^2} = 500 m, então \cos\theta = \frac{3}{5} e \sec^2\theta = \frac{25}{9}:

8. Seja h a profundidade da água e r o raio da superfície da água. Conhecido: \frac{dV}{dt} = 9. Procurado: \frac{dh}{dt} quando h = 6. Por semelhança de triângulos, \frac{r}{h} = \frac{4}{12}, então r = \frac{h}{3}. Substitua no volume do cone para eliminar r:

Derive e substitua h = 6:

9. Seja x a distância da pessoa até o poste e s o comprimento da sombra. Conhecido: \frac{dx}{dt} = 5. A lâmpada, a pessoa e a ponta da sombra formam dois triângulos semelhantes:

Derive:

A resposta não depende de onde a pessoa está. A ponta da sombra se move a 5 + \frac{10}{3} = \frac{25}{3} pés/s.

10. Seja D a distância até a origem. Como y = x^2:

Derive em relação a t:

Em (2, 4), D = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, e \frac{dx}{dt} = 3:

Erros comuns nestes exercícios

• Substituir os números cedo demais. No exercício 4, escrever 36 + y^2 = 100 antes de derivar torna x constante, e a taxa desaparece.
• Ignorar o sinal. No exercício 4 a resposta é negativa. Dizer "o topo se move a 1,5 pé/s" não está errado, mas você precisa saber em que sentido.
• Manter r e h no cone. No exercício 8, use semelhança de triângulos para escrever r em função de h antes de derivar.
• Usar graus. Nos exercícios 5 e 7 as taxas saem em radianos por segundo, porque as derivadas trigonométricas só valem em radianos.

Continue praticando

Estes 10 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limites, com números novos e correção imediata em cada passo, faça a lição de taxas relacionadas e depois a prática mista de aplicações. O outro grande tipo de problema contextualizado é a otimização: pratique com os exercícios de otimização.