Dérivées partielles : exercices corrigés avec réponses

Ces exercices sur les dérivées partielles commencent par les dérivées partielles premières, puis passent aux dérivées secondes, au gradient, aux dérivées directionnelles, aux plans tangents et aux points critiques. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier, puis les solutions complètes.

L'idée unique derrière chaque exercice :

Pour ces notions illustrées, lisez le guide des dérivées partielles et le guide du gradient.

Exercices

Dérivées partielles premières

1. f(x, y) = x^3y^2 + 4xy. Calculez f_x et f_y.
2. f(x, y) = e^{xy}. Calculez f_x et f_y.
3. f(x, y) = \sin(x^2y). Calculez f_x et f_y.
4. f(x, y) = \ln(x^2 + y^2). Calculez f_x.
5. f(x, y) = \dfrac{x}{y}. Calculez f_x et f_y.
6. f(x, y, z) = xyz + z^2. Calculez f_z.

Dérivées secondes et valeurs

7. f(x, y) = x^2y^3. Calculez f_{xx}, f_{yy} et f_{xy}.
8. f(x, y) = x^2 + 3xy - y^2. Calculez f_x(1, 2) et f_y(1, 2).

Gradients et plans

9. Calculez \nabla f(2, 1) pour f(x, y) = x^2y.
10. Calculez la dérivée directionnelle de f(x, y) = x^2y en (2, 1) dans la direction de \langle 3, 4\rangle.
11. Déterminez le plan tangent à z = x^2 + y^2 en (1, 2, 5).
12. Déterminez et classez le point critique de f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 6y.

Réponses

Solutions détaillées

1. Pour f_x, y^2 et 4y sont des constantes : f_x = 3x^2y^2 + 4y. Pour f_y, x^3 et 4x sont des constantes : f_y = 2x^3y + 4x.

2. Dérivation en chaîne avec la fonction intérieure xy. Sa dérivée par rapport à x est y et sa dérivée par rapport à y est x :

3. Dérivation en chaîne avec la fonction intérieure x^2y :

4. La dérivée de \ln u est \frac{u'}{u}, et la dérivée par rapport à x de x^2 + y^2 est 2x :

5. Par rapport à x, \frac{x}{y} est x multiplié par la constante \frac{1}{y}. Par rapport à y, c'est x\cdot y^{-1} :

6. Traitez x et y comme des constantes : f_z = xy + 2z.

7. D'abord, f_x = 2xy^3 et f_y = 3x^2y^2. Ensuite :

Vérification : f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2) = 6xy^2. Les deux coïncident.

8. f_x = 2x + 3y, donc f_x(1, 2) = 2 + 6 = 8. f_y = 3x - 2y, donc f_y(1, 2) = 3 - 4 = -1.

9. f_x = 2xy et f_y = x^2. En (2, 1) : \nabla f = \langle 4, 4\rangle.

10. La norme de \langle 3, 4\rangle vaut 5, donc le vecteur unitaire est \left\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle :

11. f_x = 2x = 2 et f_y = 2y = 4 en (1, 2). Le plan tangent est z = f(a, b) + f_x(x - a) + f_y(y - b) :

12. Posez f_x = 2x - 4 = 0 et f_y = 2y + 6 = 0 : (2, -3). Le test des dérivées secondes donne D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 2\cdot 2 - 0 = 4 > 0 avec f_{xx} > 0, donc c'est un minimum local. Sa valeur est 4 + 9 - 8 - 18 = -13.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Dériver la variable fixée. Dans l'exercice 1, la dérivée f_x de 4xy est 4y, et non 4y + 4x.
• Oublier la dérivation en chaîne. Dans l'exercice 3, le facteur 2xy vient de la fonction intérieure x^2y.
• Utiliser une direction non unitaire. Dans l'exercice 10, normalisez d'abord \langle 3, 4\rangle.
• Confondre l'ordre dans f_{xy}. f_{xy} signifie dériver d'abord par rapport à x, puis par rapport à y. Pour les fonctions régulières, les deux ordres donnent le même résultat, ce qui fournit une bonne vérification.

Continuer à s'entraîner

Pour des exercices illimités avec une correction immédiate, essayez la leçon sur les dérivées partielles, la leçon sur les dérivées secondes, la leçon sur les plans tangents et la leçon sur le gradient. Pour l'optimisation sous contrainte, passez aux exercices sur les multiplicateurs de Lagrange.