Partielle Ableitungen: Aufgaben mit Lösungen

Diese Aufgaben zu partiellen Ableitungen beginnen mit ersten partiellen Ableitungen und gehen dann zu zweiten partiellen Ableitungen, Gradienten, Richtungsableitungen, Tangentialebenen und kritischen Punkten über. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Zuerst kommen die Ergebnisse, dann die vollständigen Lösungen.

Die eine Idee hinter allen Aufgaben:

Die Ideen mit Bildern findest du im Leitfaden zu partiellen Ableitungen und im Leitfaden zum Gradienten.

Aufgaben

Erste partielle Ableitungen

1. f(x, y) = x^3y^2 + 4xy. Bestimme f_x und f_y.
2. f(x, y) = e^{xy}. Bestimme f_x und f_y.
3. f(x, y) = \sin(x^2y). Bestimme f_x und f_y.
4. f(x, y) = \ln(x^2 + y^2). Bestimme f_x.
5. f(x, y) = \dfrac{x}{y}. Bestimme f_x und f_y.
6. f(x, y, z) = xyz + z^2. Bestimme f_z.

Zweite partielle Ableitungen und Werte

7. f(x, y) = x^2y^3. Bestimme f_{xx}, f_{yy} und f_{xy}.
8. f(x, y) = x^2 + 3xy - y^2. Bestimme f_x(1, 2) und f_y(1, 2).

Gradienten und Ebenen

9. Bestimme \nabla f(2, 1) für f(x, y) = x^2y.
10. Bestimme die Richtungsableitung von f(x, y) = x^2y im Punkt (2, 1) in Richtung \langle 3, 4\rangle.
11. Bestimme die Tangentialebene an z = x^2 + y^2 im Punkt (1, 2, 5).
12. Bestimme und klassifiziere den kritischen Punkt von f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 6y.

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. Für f_x sind y^2 und 4y Konstanten: f_x = 3x^2y^2 + 4y. Für f_y sind x^3 und 4x Konstanten: f_y = 2x^3y + 4x.

2. Kettenregel mit der inneren Funktion xy. Ihre Ableitung nach x ist y, ihre Ableitung nach y ist x:

3. Kettenregel mit der inneren Funktion x^2y:

4. Die Ableitung von \ln u ist \frac{u'}{u}, und die Ableitung von x^2 + y^2 nach x ist 2x:

5. Bezüglich x ist \frac{x}{y} einfach x mal die Konstante \frac{1}{y}. Bezüglich y ist es x\cdot y^{-1}:

6. Behandle x und y wie Konstanten: f_z = xy + 2z.

7. Zuerst ist f_x = 2xy^3 und f_y = 3x^2y^2. Dann:

Kontrolle: f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2) = 6xy^2. Die Werte stimmen überein.

8. f_x = 2x + 3y, also f_x(1, 2) = 2 + 6 = 8. f_y = 3x - 2y, also f_y(1, 2) = 3 - 4 = -1.

9. f_x = 2xy und f_y = x^2. Im Punkt (2, 1): \nabla f = \langle 4, 4\rangle.

10. Die Länge von \langle 3, 4\rangle ist 5, der Einheitsvektor ist also \left\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle:

11. Im Punkt (1, 2) ist f_x = 2x = 2 und f_y = 2y = 4. Die Tangentialebene ist z = f(a, b) + f_x(x - a) + f_y(y - b):

12. Setze f_x = 2x - 4 = 0 und f_y = 2y + 6 = 0: (2, -3). Das Kriterium mit der zweiten Ableitung liefert D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 2\cdot 2 - 0 = 4 > 0 mit f_{xx} > 0, also liegt ein lokales Minimum vor. Der Wert ist 4 + 9 - 8 - 18 = -13.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Die konstante Variable mit ableiten. In Aufgabe 1 ist f_x von 4xy gleich 4y, nicht 4y + 4x.
• Die Kettenregel vergessen. In Aufgabe 3 kommt der Faktor 2xy von der inneren Funktion x^2y.
• Eine Richtung verwenden, die kein Einheitsvektor ist. Normiere in Aufgabe 10 zuerst \langle 3, 4\rangle.
• Die Reihenfolge bei f_{xy} verwechseln. f_{xy} heißt: zuerst nach x, dann nach y ableiten. Bei glatten Funktionen liefern beide Reihenfolgen dasselbe, das ist eine gute Kontrolle.

Weiter üben

Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die Lektion zu partiellen Ableitungen, die Lektion zu zweiten partiellen Ableitungen, die Lektion zu Tangentialebenen und die Lektion zum Gradienten. Für Optimierung mit Nebenbedingung geht es weiter mit den Aufgaben zu Lagrange-Multiplikatoren.