Exercícios de frações parciais resolvidos, com respostas

Estes exercícios de frações parciais começam com dois fatores lineares distintos e avançam para fatores repetidos, quadráticos irredutíveis, divisão de polinômios e integrais definidas. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rápido, depois as resoluções completas.

A decomposição para cada tipo de fator no denominador:

Para exemplos resolvidos e o raciocínio, leia o guia de frações parciais.

Exercícios

Fatores lineares distintos

1. \displaystyle\int\frac{1}{x(x + 1)}\,dx
2. \displaystyle\int\frac{1}{x^2 - 4}\,dx
3. \displaystyle\int\frac{5x - 1}{(x + 1)(x - 2)}\,dx
4. \displaystyle\int\frac{x + 5}{x^2 + x - 2}\,dx

Fatores repetidos

5. \displaystyle\int\frac{1}{x^2(x + 1)}\,dx
6. \displaystyle\int\frac{3x + 5}{(x + 1)^2}\,dx

Quadráticos irredutíveis

7. \displaystyle\int\frac{1}{x(x^2 + 1)}\,dx
8. \displaystyle\int\frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)(x^2 + 1)}\,dx

Divisão de polinômios primeiro

9. \displaystyle\int\frac{x^2 + 1}{x - 1}\,dx
10. \displaystyle\int\frac{x^3}{x^2 - 1}\,dx

Integrais definidas

11. \displaystyle\int_2^3\frac{1}{x^2 - 1}\,dx
12. \displaystyle\int_0^1\frac{2}{(x + 1)(x + 2)}\,dx

Respostas

Resolução passo a passo

1. Escreva \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}, então 1 = A(x + 1) + Bx. Substitua x = 0: A = 1. Substitua x = -1: B = -1:

2. Fatore: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Então 1 = A(x + 2) + B(x - 2). Em x = 2, A = \frac{1}{4}. Em x = -2, B = -\frac{1}{4}. Junte os dois logaritmos em um só.

3. 5x - 1 = A(x - 2) + B(x + 1). Em x = -1: -6 = -3A, então A = 2. Em x = 2: 9 = 3B, então B = 3.

4. Fatore: x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1). Então x + 5 = A(x - 1) + B(x + 2). Em x = 1: 6 = 3B, então B = 2. Em x = -2: 3 = -3A, então A = -1.

5. O fator x^2 é repetido, então escreva \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1}. Assim 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx^2. Em x = 0: B = 1. Em x = -1: C = 1. Igualando os termos em x^2: A + C = 0, então A = -1:

6. Escreva o numerador em função de x + 1: 3x + 5 = 3(x + 1) + 2. Então a fração é \frac{3}{x + 1} + \frac{2}{(x + 1)^2}. O segundo termo se integra pela regra da potência e dá -\frac{2}{x + 1}.

7. Escreva \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}, então 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x. Em x = 0: A = 1. Igualando x^2: A + B = 0, então B = -1. Igualando x: C = 0. O termo \frac{-x}{x^2 + 1} se integra como -\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1).

8. Escreva \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}, então x^2 + x + 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x + 1). Em x = -1: 1 = 2A, então A = \frac{1}{2}. Igualando x^2: 1 = A + B, então B = \frac{1}{2}. Igualando os termos constantes: 1 = A + C, então C = \frac{1}{2}. Assim:

As três partes dão um logaritmo, um logaritmo por substituição e um arco tangente.

9. O numerador tem grau 2 e o denominador grau 1, então divida: x^2 + 1 = (x - 1)(x + 1) + 2. Assim o integrando é x + 1 + \frac{2}{x - 1}.

10. Divida: x^3 = x(x^2 - 1) + x, então o integrando é x + \frac{x}{x^2 - 1}. O segundo termo é uma substituição com u = x^2 - 1, que dá \frac{1}{2}\ln|x^2 - 1|.

11. Como no exercício 2, \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right):

12. \frac{2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x + 2}:

Erros comuns nestes exercícios

• Pular a divisão de polinômios. No exercício 9, decompor \frac{x^2 + 1}{x - 1} sem dividir antes leva a um sistema sem solução.
• Um só termo para um fator repetido. \frac{1}{x^2(x + 1)} precisa tanto de \frac{A}{x} quanto de \frac{B}{x^2}.
• Uma constante sobre um quadrático. Um quadrático irredutível precisa de Bx + C no numerador, não só de B.
• Integrar \frac{1}{(x + 1)^2} como logaritmo. É uma potência: \int(x + 1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x + 1}.

Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção imediata, faça a lição de frações parciais e a lição de fatores repetidos. Veja também a integral de 1/(x² − 1). Depois junte todos os métodos no conjunto de prática de técnicas.