Exercícios de integração por partes resolvidos, com respostas

Estes exercícios de integração por partes começam com uma única aplicação de partes e avançam para partes repetidas, o método tabular e integrais que voltam a si mesmas. Tente cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rapidamente, e depois as resoluções completas.

A fórmula vem da regra do produto:

Escolha u e dv, encontre du e v e depois preencha a fórmula. Para saber mais sobre a fórmula, leia a regra da integração por partes.

Exercícios

Uma aplicação de partes

1. \displaystyle\int x\,e^x\,dx
2. \displaystyle\int x\cos x\,dx
3. \displaystyle\int \ln x\,dx
4. \displaystyle\int x\ln x\,dx
5. \displaystyle\int x\sin(2x)\,dx
6. \displaystyle\int \arctan x\,dx

Partes repetidas

7. \displaystyle\int x^2 e^x\,dx
8. \displaystyle\int x^2\cos x\,dx

Integrais que voltam a si mesmas

9. \displaystyle\int e^x\sin x\,dx
10. \displaystyle\int e^{2x}\cos x\,dx

Integrais definidas

11. \displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx
12. \displaystyle\int_1^{e} x\ln x\,dx

Respostas

Resolução passo a passo

1. Faça u = x e dv = e^x\,dx, então du = dx e v = e^x:

2. Faça u = x e dv = \cos x\,dx, então v = \sin x:

3. Faça u = \ln x e dv = dx, então du = \frac{1}{x}dx e v = x:

4. Logaritmos vêm primeiro na LIATE, então u = \ln x e dv = x\,dx, o que dá v = \frac{x^2}{2}:

5. Faça u = x e dv = \sin(2x)\,dx, então v = -\frac{1}{2}\cos(2x):

6. Faça u = \arctan x e dv = dx, então du = \frac{1}{1+x^2}dx e v = x:

A última integral é uma substituição com u = 1 + x^2, que dá \frac{1}{2}\ln(1 + x^2).

7. Use o método tabular. Derivadas de x^2: x^2, 2x, 2, 0. Integrais de e^x: e^x, e^x, e^x. Multiplique na diagonal com os sinais +, -, +:

8. Método tabular de novo. Derivadas: x^2, 2x, 2, 0. Integrais de \cos x: \sin x, -\cos x, -\sin x. Com os sinais +, -, +:

9. Chame a integral de I. Com u = \sin x e dv = e^x\,dx: I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx. Aplique partes de novo com u = \cos x: \int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I. Então:

10. Seja I = \int e^{2x}\cos x\,dx. Tome u = e^{2x} nas duas vezes. Primeiro, I = e^{2x}\sin x - 2\int e^{2x}\sin x\,dx. Depois, \int e^{2x}\sin x\,dx = -e^{2x}\cos x + 2I. Juntando tudo:

11. Pelo exercício 1:

12. Pelo exercício 4, usando \ln e = 1 e \ln 1 = 0:

Erros comuns nestes exercícios

• Escolher u ao contrário. No exercício 4, tomar u = x e dv = \ln x\,dx significa que você já precisaria saber \int\ln x\,dx. Siga a LIATE.
• Erros de sinal na segunda rodada. Nos exercícios 7 e 8, o sinal de menos na frente de \int v\,du vale para tudo o que vem depois. O método tabular mantém os sinais em ordem.
• Trocar o tipo de u e dv no meio do ciclo. No exercício 10, se você toma u = e^{2x} na primeira vez e u = \sin x na segunda, desfaz o primeiro passo e chega a I = I.
• Esquecer o \frac{1}{2} em v. Quando dv = \sin(2x)\,dx, v = -\frac{1}{2}\cos(2x), não -\cos(2x).

Continue praticando

Para exercícios ilimitados com novos números e correção imediata, experimente a lição de integração por partes e a lição de partes repetidas e LIATE. Para mais exemplos, veja a integral de x e^x, a integral de ln x e o guia de integração por partes. Depois experimente os exercícios de integrais trigonométricas.