Décomposition en éléments simples : exercices corrigés
12 exercices corrigés de décomposition en éléments simples pour intégrer : facteurs distincts et répétés, trinômes irréductibles, division euclidienne.
Techniques d'intégration Mis à jour Lecture : 5 min
En bref
- Exercices
- 12, avec réponses et solutions complètes
- Niveau
- Analyse 2 et AP Calculus BC
- Prérequis
- La factorisation, la division euclidienne des polynômes et \int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
- Idée principale
- Découper une fraction difficile en plusieurs fractions simples, puis intégrer chacune
- S'entraîner avec de nouveaux nombres
- Leçon sur les éléments simples
Sur cette page
Ces exercices sur la décomposition en éléments simples commencent avec deux facteurs du premier degré distincts, puis passent aux facteurs répétés, aux trinômes irréductibles, à la division euclidienne et aux intégrales définies. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier pour vérifier rapidement, puis les solutions complètes.
La forme à prévoir pour chaque type de facteur du dénominateur :
| Facteur | Termes à prévoir |
|---|---|
| (x - a) | \dfrac{A}{x - a} |
| (x - a)^2 | \dfrac{A}{x - a} + \dfrac{B}{(x - a)^2} |
| x^2 + bx + c (sans racine réelle) | \dfrac{Bx + C}{x^2 + bx + c} |
Pour des exemples corrigés et le raisonnement, lisez le guide de la décomposition en éléments simples.
Exercices
Facteurs du premier degré distincts
- \displaystyle\int\frac{1}{x(x + 1)}\,dx
- \displaystyle\int\frac{1}{x^2 - 4}\,dx
- \displaystyle\int\frac{5x - 1}{(x + 1)(x - 2)}\,dx
- \displaystyle\int\frac{x + 5}{x^2 + x - 2}\,dx
Facteurs répétés
- \displaystyle\int\frac{1}{x^2(x + 1)}\,dx
- \displaystyle\int\frac{3x + 5}{(x + 1)^2}\,dx
Trinômes irréductibles
- \displaystyle\int\frac{1}{x(x^2 + 1)}\,dx
- \displaystyle\int\frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)(x^2 + 1)}\,dx
Division euclidienne d'abord
- \displaystyle\int\frac{x^2 + 1}{x - 1}\,dx
- \displaystyle\int\frac{x^3}{x^2 - 1}\,dx
Intégrales définies
- \displaystyle\int_2^3\frac{1}{x^2 - 1}\,dx
- \displaystyle\int_0^1\frac{2}{(x + 1)(x + 2)}\,dx
Réponses
| Exercice | Réponse |
|---|---|
| 1 | \ln\lvert x\rvert - \ln\lvert x + 1\rvert + C |
| 2 | \dfrac{1}{4}\ln\left\lvert\dfrac{x - 2}{x + 2}\right\rvert + C |
| 3 | 2\ln\lvert x + 1\rvert + 3\ln\lvert x - 2\rvert + C |
| 4 | 2\ln\lvert x - 1\rvert - \ln\lvert x + 2\rvert + C |
| 5 | -\ln\lvert x\rvert - \dfrac{1}{x} + \ln\lvert x + 1\rvert + C |
| 6 | 3\ln\lvert x + 1\rvert - \dfrac{2}{x + 1} + C |
| 7 | \ln\lvert x\rvert - \dfrac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C |
| 8 | \dfrac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + \dfrac{1}{4}\ln(x^2 + 1) + \dfrac{1}{2}\arctan x + C |
| 9 | \dfrac{x^2}{2} + x + 2\ln\lvert x - 1\rvert + C |
| 10 | \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{1}{2}\ln\lvert x^2 - 1\rvert + C |
| 11 | \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2} \approx 0.2027 |
| 12 | 2\ln\dfrac{4}{3} \approx 0.5754 |
Solutions détaillées
1. Écrivez \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}, donc 1 = A(x + 1) + Bx. Pour x = 0 : A = 1. Pour x = -1 : B = -1 :
2. Factorisez : x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Alors 1 = A(x + 2) + B(x - 2). En x = 2, A = \frac{1}{4}. En x = -2, B = -\frac{1}{4}. Regroupez les deux logarithmes en un seul.
3. 5x - 1 = A(x - 2) + B(x + 1). En x = -1 : -6 = -3A, donc A = 2. En x = 2 : 9 = 3B, donc B = 3.
4. Factorisez : x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1). Alors x + 5 = A(x - 1) + B(x + 2). En x = 1 : 6 = 3B, donc B = 2. En x = -2 : 3 = -3A, donc A = -1.
5. Le facteur x^2 est répété, donc écrivez \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1}. Alors 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx^2. En x = 0 : B = 1. En x = -1 : C = 1. Identifiez les termes en x^2 : A + C = 0, donc A = -1 :
6. Écrivez le numérateur en fonction de x + 1 : 3x + 5 = 3(x + 1) + 2. La fraction vaut donc \frac{3}{x + 1} + \frac{2}{(x + 1)^2}. Le second terme s'intègre avec la règle de la puissance et donne -\frac{2}{x + 1}.
7. Écrivez \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}, donc 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x. En x = 0 : A = 1. Identifiez les termes en x^2 : A + B = 0, donc B = -1. Identifiez les termes en x : C = 0. Le terme \frac{-x}{x^2 + 1} s'intègre en -\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1).
8. Écrivez \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}, donc x^2 + x + 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x + 1). En x = -1 : 1 = 2A, donc A = \frac{1}{2}. Identifiez x^2 : 1 = A + B, donc B = \frac{1}{2}. Identifiez les constantes : 1 = A + C, donc C = \frac{1}{2}. Alors :
Les trois morceaux donnent un logarithme, un logarithme par changement de variable et une arctangente.
9. Le numérateur est de degré 2 et le dénominateur de degré 1, donc divisez : x^2 + 1 = (x - 1)(x + 1) + 2. La fonction à intégrer est donc x + 1 + \frac{2}{x - 1}.
10. Divisez : x^3 = x(x^2 - 1) + x, donc la fonction à intégrer est x + \frac{x}{x^2 - 1}. Le second terme se traite par le changement de variable u = x^2 - 1, ce qui donne \frac{1}{2}\ln|x^2 - 1|.
11. Comme dans l'exercice 2, \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) :
12. \frac{2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x + 2} :
Erreurs fréquentes sur ces exercices
- Oublier la division euclidienne. Dans l'exercice 9, décomposer \frac{x^2 + 1}{x - 1} sans diviser d'abord donne un système sans solution.
- Un seul terme pour un facteur répété. \frac{1}{x^2(x + 1)} demande à la fois \frac{A}{x} et \frac{B}{x^2}.
- Une constante au-dessus d'un trinôme. Un trinôme irréductible demande Bx + C au numérateur, et pas seulement B.
- Intégrer \frac{1}{(x + 1)^2} comme un logarithme. C'est une puissance : \int(x + 1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x + 1}.
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