Exercícios de regra de L'Hôpital resolvidos, com respostas

Estes exercícios de regra de L'Hôpital cobrem as sete indeterminações: \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0\cdot\infty, \infty - \infty, 0^0, 1^\infty e \infty^0. O último exercício é uma armadilha em que a regra não se aplica. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

A regra:

Para o enunciado completo e o porquê de funcionar, veja a página da regra de L'Hôpital.

Exercícios

Formas 0/0

1. \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x} - 1}{\sin x}
2. \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x - 1}
3. \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3}

Formas ∞/∞

4. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}
5. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}

Produtos e diferenças

6. \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x
7. \displaystyle\lim_{x\to\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)
8. \displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}\right)

Formas exponenciais

9. \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^x
10. \displaystyle\lim_{x\to\infty} x^{1/x}
11. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x

Verifique antes de começar

12. \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2 + 3}{x + 1}

Respostas

Resolução passo a passo

1. A substituição dá \frac{0}{0}. Derive o numerador e o denominador:

2. A substituição dá \frac{\ln 1}{0} = \frac{0}{0}:

3. Cada rodada ainda dá \frac{0}{0}, então aplique a regra três vezes:

4. Esta é \frac{\infty}{\infty}. Duas rodadas:

Exponenciais vencem qualquer potência de x.

5. De novo \frac{\infty}{\infty}:

Logaritmos perdem para qualquer potência positiva de x.

6. Esta é 0\cdot(-\infty). Passe x para o denominador como \frac{1}{x} para obter \frac{-\infty}{\infty}:

7. Esta é \infty\cdot 0. Reescreva como \frac{\sin(1/x)}{1/x}, que é \frac{0}{0}. Faça t = \frac{1}{x}, de modo que t\to 0^+:

8. Esta é \infty - \infty. Junte em uma única fração:

Isso é \frac{0}{0}. Derive, e continua \frac{0}{0}, então derive de novo:

9. Esta é 0^0. Seja L o limite e aplique o logaritmo. O exercício 6 já encontrou este limite:

10. Esta é \infty^0. Aplique o logaritmo:

11. Esta é 1^\infty. Aplique o logaritmo e depois escreva o produto como uma fração \frac{0}{0}:

Derive o numerador, \frac{1}{1 + 3/x}\cdot\left(-\frac{3}{x^2}\right), e o denominador, -\frac{1}{x^2}:

12. Substitua primeiro: \frac{0 + 3}{0 + 1} = 3. É um número real, então o limite é 3 e pronto. Usar L'Hôpital aqui daria \frac{2x}{1}\to 0, o que está errado, porque a regra só funciona em indeterminações.

Erros comuns nestes exercícios

• Usar a regra do quociente. L'Hôpital significa \frac{f'}{g'}, não \left(\frac{f}{g}\right)'. Derive o numerador e o denominador cada um por si.
• Pular a verificação. O exercício 12 mostra o que acontece: a regra dá uma resposta errada quando a forma não é indeterminada.
• Esquecer de desfazer o logaritmo. Nos exercícios 9 a 11 você encontra primeiro \ln L. A resposta do exercício 11 é e^3, não 3.
• Aplicar a regra direto em um produto. No exercício 6 é preciso reescrever x\ln x como fração antes de derivar.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com limites novos a cada vez e correção imediata, experimente a lição da regra de L'Hôpital. Para mais exemplos resolvidos e o raciocínio por trás de cada indeterminação, leia o guia da regra de L'Hôpital. Para revisar antes os métodos algébricos, volte aos exercícios de cálculo de limites.