Aufgaben zur Regel von L'Hospital mit Lösungen und Lösungsweg

Diese Aufgaben zur Regel von L'Hospital decken alle sieben unbestimmten Ausdrücke ab: \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0\cdot\infty, \infty - \infty, 0^0, 1^\infty und \infty^0. Die letzte Aufgabe ist eine Falle, bei der die Regel nicht gilt. Die Ergebnisse folgen direkt nach der Liste, danach die ausführlichen Lösungswege.

Die Regel:

Die vollständige Aussage und warum sie funktioniert, findest du auf der Seite zur Regel von L'Hospital.

Aufgaben

Form 0/0

1. \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x} - 1}{\sin x}
2. \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x - 1}
3. \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3}

Form ∞/∞

4. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}
5. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}

Produkte und Differenzen

6. \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x
7. \displaystyle\lim_{x\to\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)
8. \displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}\right)

Potenzformen

9. \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^x
10. \displaystyle\lim_{x\to\infty} x^{1/x}
11. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x

Erst prüfen, dann rechnen

12. \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2 + 3}{x + 1}

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Einsetzen ergibt \frac{0}{0}. Leite Zähler und Nenner ab:

2. Einsetzen ergibt \frac{\ln 1}{0} = \frac{0}{0}:

3. Jeder Durchgang ergibt wieder \frac{0}{0}, also wendest du die Regel dreimal an:

4. Das ist \frac{\infty}{\infty}. Zwei Durchgänge:

Exponentialfunktionen wachsen schneller als jede Potenz von x.

5. Wieder \frac{\infty}{\infty}:

Logarithmen wachsen langsamer als jede positive Potenz von x.

6. Das ist 0\cdot(-\infty). Bringe x als \frac{1}{x} in den Nenner, dann erhältst du \frac{-\infty}{\infty}:

7. Das ist \infty\cdot 0. Schreibe es als \frac{\sin(1/x)}{1/x}, also \frac{0}{0}. Setze t = \frac{1}{x}, dann gilt t\to 0^+:

8. Das ist \infty - \infty. Fasse zu einem Bruch zusammen:

Das ist \frac{0}{0}. Nach dem Ableiten ist es immer noch \frac{0}{0}, also leitest du noch einmal ab:

9. Das ist 0^0. Nenne den Grenzwert L und logarithmiere. Diesen Grenzwert hast du schon in Aufgabe 6 berechnet:

10. Das ist \infty^0. Logarithmiere:

11. Das ist 1^\infty. Logarithmiere und schreibe das Produkt dann als Bruch der Form \frac{0}{0}:

Leite den Zähler ab, \frac{1}{1 + 3/x}\cdot\left(-\frac{3}{x^2}\right), und den Nenner, -\frac{1}{x^2}:

12. Setze zuerst ein: \frac{0 + 3}{0 + 1} = 3. Das ist eine reelle Zahl, also ist der Grenzwert 3 und du bist fertig. Mit L'Hospital erhieltest du hier \frac{2x}{1}\to 0, und das ist falsch, weil die Regel nur bei unbestimmten Ausdrücken gilt.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Die Quotientenregel verwenden. L'Hospital bedeutet \frac{f'}{g'}, nicht \left(\frac{f}{g}\right)'. Leite Zähler und Nenner jeweils für sich ab.
• Die Prüfung überspringen. Aufgabe 12 zeigt, was dann passiert: Die Regel liefert ein falsches Ergebnis, wenn der Ausdruck nicht unbestimmt ist.
• Vergessen, den Logarithmus rückgängig zu machen. In den Aufgaben 9 bis 11 berechnest du zuerst \ln L. Das Ergebnis von Aufgabe 11 ist e^3, nicht 3.
• Die Regel direkt auf ein Produkt anwenden. In Aufgabe 6 musst du x\ln x vor dem Ableiten als Bruch schreiben.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit jedes Mal neuen Grenzwerten und sofortigem Feedback probiere die Lektion zur Regel von L'Hospital. Weitere Rechenbeispiele und die Überlegungen hinter jedem unbestimmten Ausdruck findest du im Leitfaden zur Regel von L'Hospital. Wenn du zuerst die algebraischen Methoden wiederholen willst, geh zurück zu den Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten.