Limites no infinito: exercícios resolvidos com respostas

Estes exercícios de limites no infinito começam com funções racionais e passam por raízes quadradas, a indeterminação \infty - \infty, exponenciais e assíntotas horizontais. Resolva cada um antes de conferir. As respostas vêm logo depois da lista, seguidas das resoluções completas.

O atalho para funções racionais, em que n é o grau do numerador e m o grau do denominador:

Para entender o raciocínio por trás dele, leia o guia de limites no infinito.

Exercícios

Funções racionais

1. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 1}
2. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x + 1}{x^2 + 3}
3. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3 - 2}{4x^2 + x}
4. \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3 - x}{1 - 6x^3}

Raízes quadradas

5. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}
6. \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}
7. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)

Trigonométricas e exponenciais

8. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}
9. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}
10. \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}
11. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\arctan(x^2)

Assíntotas horizontais

12. Encontre todas as assíntotas horizontais de f(x) = \dfrac{5x - 2}{\sqrt{x^2 + 4}}.

Respostas

Resoluções passo a passo

1. Os graus são iguais, então divida o numerador e o denominador por x^2:

2. O denominador tem grau maior. Divida por x^2:

3. O numerador tem grau maior. Divida por x^2:

O numerador cresce sem limite enquanto o denominador se aproxima de 4, então o limite é \infty.

4. Graus iguais de novo. Divida por x^3:

O sentido -\infty não muda a resposta aqui, porque todos os termos que sobram continuam tendendo a 0.

5. Coloque x^2 em evidência dentro da raiz. Para x > 0, \sqrt{x^2} = x:

6. Mesma função, mas agora x < 0, então \sqrt{x^2} = |x| = -x:

7. É uma indeterminação \infty - \infty. Multiplique pelo conjugado sobre ele mesmo:

Divida o numerador e o denominador por x:

8. Use o Teorema do Confronto. Como -1 \le \sin x \le 1, para x > 0:

As duas funções de fora tendem a 0, então o limite é 0.

9. Quando x\to\infty, e^x é o termo dominante. Divida por e^x:

10. Quando x\to -\infty, e^x\to 0, então basta substituir esse valor:

11. Quando x\to\infty, x^2\to\infty, e \arctan u\to\frac{\pi}{2} quando u\to\infty. Então o limite é \frac{\pi}{2}.

12. Coloque \sqrt{x^2} = |x| em evidência na raiz: \sqrt{x^2 + 4} = |x|\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}.

Quando x\to\infty, |x| = x:

Quando x\to -\infty, |x| = -x, o que troca o sinal e dá -5. O gráfico tem duas assíntotas horizontais: y = 5 à direita e y = -5 à esquerda.

Erros comuns nestes exercícios

• Escrever \frac{\infty}{\infty} = 1. No exercício 1, o numerador e o denominador crescem, mas a resposta é \frac{3}{5}. Divida pela maior potência para ver o que realmente acontece.
• Esquecer que \sqrt{x^2} = |x|. Os exercícios 6 e 12 dão o sinal errado se você tratar \sqrt{x^2} como x quando x é negativo.
• Escrever \infty - \infty = 0. O exercício 7 parece dar 0, mas o conjugado mostra que o limite é 3.
• Supor que os dois sentidos dão o mesmo resultado. Os exercícios 9 e 10 usam a mesma função e dão 2 e -3. Exponenciais se comportam de forma muito diferente de cada lado.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limite, com novos números a cada vez e correção na hora, faça a lição de limites no infinito e depois a prática mista de limites. Se um limite no infinito virar \frac{\infty}{\infty} com exponenciais e logaritmos misturados, os exercícios de regra de L'Hôpital mostram o método mais rápido.