Exercícios de cálculo de limites resolvidos, com respostas

Estes exercícios de cálculo de limites cobrem todos os métodos de que você precisa para limites finitos: substituição direta, fatoração, conjugado, soma de frações, os limites trigonométricos fundamentais e os limites laterais. Tente cada exercício primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

A estratégia para todos os exercícios:

Para revisar por que isso funciona, leia como calcular limites e a regra da substituição direta.

Exercícios

Substituição direta

1. \displaystyle\lim_{x\to 2}\,(3x^2 - 5x + 1)
2. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{e^x + \cos x}{x + 1}
3. \displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{\sqrt{x + 6}}{x - 1}

Fatorando uma forma 0/0

4. \displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{x^2 - 9}{x - 3}
5. \displaystyle\lim_{x\to -2}\,\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}
6. \displaystyle\lim_{x\to 1}\,\frac{x^3 - 1}{x - 1}

Conjugado e frações

7. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}
8. \displaystyle\lim_{x\to 4}\,\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{4}}{x - 4}

Limites trigonométricos

9. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sin(5x)}{x}
10. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{1 - \cos x}{x^2}

Limites laterais

11. \displaystyle\lim_{x\to 2^+}\,\frac{x + 1}{x - 2}
12. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{|x|}{x}

Respostas

Resolução passo a passo

1. Polinômios são contínuos em toda parte, então substitua:

2. O denominador não é zero em x = 0, então substitua:

3. De novo, nada dá problema em x = 3:

4. A substituição dá \frac{0}{0}. Fatore a diferença de quadrados e cancele:

5. A substituição dá \frac{4 - 10 + 6}{4 - 4} = \frac{0}{0}. Fatore o numerador e o denominador:

6. Use a diferença de cubos, x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1):

7. A substituição dá \frac{0}{0}. Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado \sqrt{x+9} + 3:

8. Junte as frações do numerador: \frac{1}{x} - \frac{1}{4} = \frac{4 - x}{4x}. Como 4 - x = -(x - 4):

9. Use \displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1 com \theta = 5x. Multiplique e divida por 5:

10. Multiplique por \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} e use 1 - \cos^2 x = \sin^2 x:

11. A substituição dá \frac{3}{0}, então o limite é infinito. Para x um pouco maior que 2, o numerador está perto de 3 e o denominador é um número positivo pequeno, então a fração é grande e positiva: o limite é +\infty. Há uma assíntota vertical em x = 2.

12. Para x > 0, |x| = x, então a fração vale 1. Para x < 0, |x| = -x, então a fração vale -1. Os limites laterais são 1 e -1. Eles não coincidem, então o limite bilateral não existe.

Erros comuns nestes exercícios

• Parar em 0/0. No exercício 4, \frac{0}{0} não é resposta. É um sinal de que você deve fatorar primeiro.
• Cancelar termos em vez de fatores. No exercício 5 você pode cancelar (x+2) porque ele multiplica todo o numerador e todo o denominador. Nunca dá para cancelar o x^2 de x^2 + 5x + 6 e x^2 - 4.
• Escrever \frac{\sin 5x}{x} = \sin 5. Não dá para cancelar o x dentro de um seno. O exercício 9 precisa do limite fundamental \frac{\sin\theta}{\theta}\to 1.
• Ignorar o lado. No exercício 11 o lado importa. Pela esquerda, a mesma fração vai para -\infty, então só o limite à direita é +\infty.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com números novos e correção imediata em cada passo, experimente a lição de substituição direta, depois a de fatoração de formas 0/0 e a do Teorema do Confronto. Quando estiver pronto para limites com x\to\infty, passe para os exercícios de limites no infinito.