Exercícios de série de Taylor resolvidos, com respostas

Estes exercícios de série de Taylor cobrem a construção de séries de Maclaurin e de Taylor, polinômios de Taylor, estimativas com limitação do erro e o uso de séries para calcular limites, derivadas e somas. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas.

A fórmula:

Para o raciocínio e mais exemplos, leia o guia de série de Taylor.

Exercícios

Construindo séries

1. Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de e^{2x}.
2. Encontre os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de \cos(x^2).
3. Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de x\,e^{-x}.
4. Encontre a série de Taylor de \ln x centrada em a = 1.
5. Encontre o polinômio de Taylor de grau 3 de \sqrt{x} centrado em a = 4.
6. Use a série de \frac{1}{1 + x^2} para encontrar a série de Maclaurin de \arctan x.

Estimativas

7. Use o polinômio de Taylor de grau 2 do exercício 5 para estimar \sqrt{4.1}.
8. Estime \sin(0.5) com x - \frac{x^3}{6} e limite o erro.

Usando séries

9. Encontre f^{(10)}(0) para f(x) = x^2\cos x.
10. Calcule \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}.
11. Calcule \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}.
12. Calcule a soma \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!}.

Respostas

Resolução passo a passo

1. Troque x por 2x em e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots:

2. Troque x por x^2 em \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots:

3. e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \cdots. Multiplique cada termo por x.

4. Para f(x) = \ln x: f(1) = 0, f'(1) = 1, f''(1) = -1, f'''(1) = 2 e, em geral, f^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}(n - 1)!. Divida por n! para obter \frac{(-1)^{n+1}}{n}:

5. Calcule as derivadas em x = 4:

6. \frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots para |x| < 1. Integre termo a termo de 0 a x:

7. Com x - 4 = 0.1:

O valor real é 2.0248457\ldots, então a estimativa erra por cerca de 0.000002.

8. 0.5 - \frac{0.125}{6} \approx 0.479167. A série é alternada com termos decrescentes, então o erro é menor que o próximo termo, \frac{0.5^5}{120} \approx 0.00026. O valor real é 0.479426, uma diferença de 0.000259.

9. x^2\cos x = x^2 - \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{4!} - \frac{x^8}{6!} + \frac{x^{10}}{8!} - \cdots. O coeficiente de x^{10} é \frac{1}{8!}, e ele também é igual a \frac{f^{(10)}(0)}{10!}:

10. \sin x - x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots. Divida por x^3: -\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \cdots \to -\frac{1}{6}.

11. e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots. Divida por x^2: \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots \to \frac{1}{2}.

12. Esta é a série do cosseno \sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} com x = \pi, então a soma é \cos\pi = -1.

Erros comuns nestes exercícios

• Esquecer o fatorial. O coeficiente é \frac{f^{(n)}(a)}{n!}, e não f^{(n)}(a). No exercício 5, f''(4) = -\frac{1}{32}, mas o coeficiente é -\frac{1}{64}.
• Calcular derivadas quando a substituição resolve. Derivar \cos(x^2) oito vezes é demorado. Substitua na série conhecida.
• Usar x em vez de x - a. Uma série de Taylor em a = 4 usa potências de (x - 4).
• Confundir qual coeficiente dá qual derivada. No exercício 9, o coeficiente de x^{10} vem do termo n = 4 do cosseno, e você multiplica por 10!.

Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção imediata, faça a lição de polinômios de Taylor, a lição de série de Maclaurin e a lição de estimativas com Taylor. Depois tente os exercícios de curvas paramétricas e polares, que fecham a mesma unidade de Cálculo 2.