Paramétricas e polares: exercícios resolvidos com respostas

Estes exercícios de equações paramétricas e coordenadas polares cobrem inclinações, retas tangentes, segundas derivadas e comprimento de arco de curvas paramétricas e, depois, conversões, inclinações e áreas em coordenadas polares. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes, seguidas das resoluções completas.

As fórmulas principais:

Exercícios

Curvas paramétricas

1. Para x = t^2, y = t^3, encontre \frac{dy}{dx} e seu valor em t = 2.
2. Encontre a reta tangente à curva do exercício 1 em t = 2.
3. Elimine o parâmetro: x = 2\cos t, y = 3\sin t.
4. Para x = t^2, y = t^3, encontre \frac{d^2y}{dx^2}.
5. Encontre os pontos em que x = t^2 - 1, y = t^3 - 3t tem tangente horizontal.
6. Encontre o comprimento de arco de x = t^2, y = \frac{2}{3}t^3 para 0 \le t \le 1.

Coordenadas polares

7. Converta o ponto polar (r, \theta) = \left(4, \frac{\pi}{3}\right) para coordenadas cartesianas.
8. Converta r = 4\sin\theta para uma equação cartesiana e descreva a curva.
9. Encontre a inclinação \frac{dy}{dx} de r = 1 + \cos\theta em \theta = \frac{\pi}{2}.

Área em polares

10. Encontre a área interna a r = 2\cos\theta.
11. Encontre a área de uma pétala de r = \cos(2\theta).
12. Encontre a área interna à cardioide r = 1 + \cos\theta.

Respostas

Resoluções passo a passo

1. \frac{dx}{dt} = 2t e \frac{dy}{dt} = 3t^2:

2. Em t = 2 o ponto é (4, 8) e a inclinação é 3: y - 8 = 3(x - 4), então y = 3x - 4.

3. \cos t = \frac{x}{2} e \sin t = \frac{y}{3}. Use \cos^2 t + \sin^2 t = 1:

É uma elipse.

4. Derive \frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2} em relação a t para obter \frac{3}{2} e divida por \frac{dx}{dt} = 2t:

5. \frac{dy}{dt} = 3t^2 - 3 = 0 em t = \pm 1, e ali \frac{dx}{dt} = 2t \neq 0. Em t = 1: (0, -2). Em t = -1: (0, 2).

6. \frac{dx}{dt} = 2t e \frac{dy}{dt} = 2t^2, então a velocidade escalar é \sqrt{4t^2 + 4t^4} = 2t\sqrt{1 + t^2} para t \ge 0. Com u = 1 + t^2:

7. x = 4\cos\frac{\pi}{3} = 2 e y = 4\sin\frac{\pi}{3} = 2\sqrt{3}.

8. Multiplique os dois lados por r: r^2 = 4r\sin\theta, então x^2 + y^2 = 4y. Complete o quadrado:

Uma circunferência de raio 2 com centro em (0, 2).

9. Use x = r\cos\theta, y = r\sin\theta com r' = -\sin\theta. Em \theta = \frac{\pi}{2}: r = 1 e r' = -1.

Então \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{-1} = 1.

10. A circunferência é percorrida uma vez para -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}:

Isso confere com uma circunferência de raio 1.

11. Uma pétala vai de \theta = -\frac{\pi}{4} até \frac{\pi}{4}, onde \cos 2\theta \ge 0. Use \cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2}:

12. Desenvolva (1 + \cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta. Em [0, 2\pi], as integrais desses termos dão 2\pi, 0 e \pi:

Erros comuns nestes exercícios

• Dividir segundas derivadas. No exercício 4, \frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2} = \frac{6t}{2} = 3t está errado.
• Usar \frac{dr}{d\theta} como inclinação. No exercício 9, r' = -1, mas a inclinação da curva é 1.
• Limites que percorrem a curva duas vezes. r = 2\cos\theta em [0, 2\pi] dá duas voltas e resulta em 2\pi.
• Esquecer o \frac{1}{2}. A área em polares é \frac{1}{2}\int r^2\,d\theta, e não \int r\,d\theta.

Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção na hora, faça a lição de curvas paramétricas, a lição de comprimento de arco paramétrico, a lição de inclinação em polares e a lição de área em polares.