Taylorreihen: Aufgaben mit Lösungen

Diese Aufgaben zu Taylorreihen behandeln das Aufstellen von Maclaurin- und Taylorreihen, Taylorpolynome, Näherungen mit Fehlerabschätzung und den Einsatz von Reihen für Grenzwerte, Ableitungen und Summen. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Zuerst kommen die Ergebnisse, dann die vollständigen Lösungen.

Die Formel:

Die Begründung und weitere Beispiele findest du im Leitfaden zu Taylorreihen.

Aufgaben

Reihen aufstellen

1. Bestimme die ersten vier von null verschiedenen Terme der Maclaurin-Reihe von e^{2x}.
2. Bestimme die ersten drei von null verschiedenen Terme der Maclaurin-Reihe von \cos(x^2).
3. Bestimme die ersten vier von null verschiedenen Terme der Maclaurin-Reihe von x\,e^{-x}.
4. Bestimme die Taylorreihe von \ln x mit dem Entwicklungspunkt a = 1.
5. Bestimme das Taylorpolynom vom Grad 3 von \sqrt{x} mit dem Entwicklungspunkt a = 4.
6. Bestimme mithilfe der Reihe für \frac{1}{1 + x^2} die Maclaurin-Reihe von \arctan x.

Näherungen

7. Schätze \sqrt{4.1} mit dem Taylorpolynom vom Grad 2 aus Aufgabe 5 ab.
8. Schätze \sin(0.5) mit x - \frac{x^3}{6} ab und schätze den Fehler nach oben ab.

Reihen anwenden

9. Bestimme f^{(10)}(0) für f(x) = x^2\cos x.
10. Bestimme \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}.
11. Bestimme \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}.
12. Bestimme die Summe \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!}.

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. Ersetze x durch 2x in e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots:

2. Ersetze x durch x^2 in \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots:

3. e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \cdots. Multipliziere jeden Term mit x.

4. Für f(x) = \ln x gilt f(1) = 0, f'(1) = 1, f''(1) = -1, f'''(1) = 2 und allgemein f^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}(n - 1)!. Teile durch n!, das ergibt \frac{(-1)^{n+1}}{n}:

5. Bilde die Ableitungen an der Stelle x = 4:

6. \frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots für |x| < 1. Integriere gliedweise von 0 bis x:

7. Mit x - 4 = 0.1:

Der wahre Wert ist 2.0248457\ldots, die Schätzung weicht also um etwa 0.000002 ab.

8. 0.5 - \frac{0.125}{6} \approx 0.479167. Die Reihe ist alternierend mit fallenden Termen, also ist der Fehler kleiner als der nächste Term, \frac{0.5^5}{120} \approx 0.00026. Der wahre Wert ist 0.479426, die Abweichung beträgt 0.000259.

9. x^2\cos x = x^2 - \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{4!} - \frac{x^8}{6!} + \frac{x^{10}}{8!} - \cdots. Der Koeffizient von x^{10} ist \frac{1}{8!}, und er ist auch gleich \frac{f^{(10)}(0)}{10!}:

10. \sin x - x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots. Teile durch x^3: -\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \cdots \to -\frac{1}{6}.

11. e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots. Teile durch x^2: \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots \to \frac{1}{2}.

12. Das ist die Kosinusreihe \sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} mit x = \pi, die Summe ist also \cos\pi = -1.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Die Fakultät vergessen. Der Koeffizient ist \frac{f^{(n)}(a)}{n!}, nicht f^{(n)}(a). In Aufgabe 5 ist f''(4) = -\frac{1}{32}, der Koeffizient aber -\frac{1}{64}.
• Ableiten, wo Substitution reicht. \cos(x^2) achtmal abzuleiten dauert lange. Setze in die bekannte Reihe ein.
• x statt x - a verwenden. Eine Taylorreihe mit a = 4 verwendet Potenzen von (x - 4).
• Verwechseln, welcher Koeffizient welche Ableitung liefert. In Aufgabe 9 stammt der Koeffizient von x^{10} aus dem Term n = 4 der Kosinusreihe, und du multiplizierst mit 10!.

Weiter üben

Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die Lektion zu Taylorpolynomen, die Lektion zu Maclaurin-Reihen und die Lektion zum Nähern mit Taylorpolynomen. Danach probiere die Aufgaben zu Parameterkurven und Polarkoordinaten, die dieselbe Einheit in Analysis 2 abschließen.