Séries de Taylor : exercices corrigés avec solutions

Ces exercices sur les séries de Taylor portent sur la construction de séries de Maclaurin et de Taylor, les polynômes de Taylor, les estimations avec majoration de l'erreur, et l'utilisation des séries pour calculer des limites, des dérivées et des sommes. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier, puis les solutions complètes.

La formule :

Pour le raisonnement et d'autres exemples, lisez le guide des séries de Taylor.

Exercices

Construire des séries

1. Trouvez les quatre premiers termes non nuls de la série de Maclaurin de e^{2x}.
2. Trouvez les trois premiers termes non nuls de la série de Maclaurin de \cos(x^2).
3. Trouvez les quatre premiers termes non nuls de la série de Maclaurin de x\,e^{-x}.
4. Trouvez la série de Taylor de \ln x centrée en a = 1.
5. Trouvez le polynôme de Taylor de degré 3 de \sqrt{x} centré en a = 4.
6. Utilisez la série de \frac{1}{1 + x^2} pour trouver la série de Maclaurin de \arctan x.

Estimations

7. Utilisez le polynôme de Taylor de degré 2 de l'exercice 5 pour estimer \sqrt{4.1}.
8. Estimez \sin(0.5) avec x - \frac{x^3}{6}, et majorez l'erreur.

Utiliser les séries

9. Calculez f^{(10)}(0) pour f(x) = x^2\cos x.
10. Calculez \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}.
11. Calculez \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}.
12. Calculez la somme \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!}.

Réponses

Solutions détaillées

1. Remplacez x par 2x dans e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots :

2. Remplacez x par x^2 dans \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots :

3. e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \cdots. Multipliez chaque terme par x.

4. Pour f(x) = \ln x : f(1) = 0, f'(1) = 1, f''(1) = -1, f'''(1) = 2, et en général f^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}(n - 1)!. Divisez par n! pour obtenir \frac{(-1)^{n+1}}{n} :

5. Calculez les dérivées en x = 4 :

6. \frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots pour |x| < 1. Intégrez terme à terme de 0 à x :

7. Avec x - 4 = 0.1 :

La vraie valeur est 2.0248457\ldots, donc l'estimation est fausse d'environ 0.000002.

8. 0.5 - \frac{0.125}{6} \approx 0.479167. La série est alternée avec des termes décroissants, donc l'erreur est inférieure au terme suivant, \frac{0.5^5}{120} \approx 0.00026. La vraie valeur est 0.479426, soit un écart de 0.000259.

9. x^2\cos x = x^2 - \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{4!} - \frac{x^8}{6!} + \frac{x^{10}}{8!} - \cdots. Le coefficient de x^{10} est \frac{1}{8!}, et il vaut aussi \frac{f^{(10)}(0)}{10!} :

10. \sin x - x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots. Divisez par x^3 : -\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \cdots \to -\frac{1}{6}.

11. e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots. Divisez par x^2 : \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots \to \frac{1}{2}.

12. C'est la série du cosinus \sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} avec x = \pi, donc la somme vaut \cos\pi = -1.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Oublier la factorielle. Le coefficient est \frac{f^{(n)}(a)}{n!}, et non f^{(n)}(a). Dans l'exercice 5, f''(4) = -\frac{1}{32} mais le coefficient vaut -\frac{1}{64}.
• Dériver quand une substitution suffit. Dériver \cos(x^2) huit fois est long. Substituez dans la série connue.
• Utiliser x au lieu de x - a. Une série de Taylor en a = 4 utilise des puissances de (x - 4).
• Confondre quel coefficient donne quelle dérivée. Dans l'exercice 9, le coefficient de x^{10} vient du terme n = 4 du cosinus, et on multiplie par 10!.

Continuer à s'entraîner

Pour des exercices illimités avec une correction immédiate, essayez la leçon sur les polynômes de Taylor, la leçon sur les séries de Maclaurin et la leçon sur les estimations avec Taylor. Essayez ensuite les exercices sur les courbes paramétrées et polaires, qui terminent la même unité d'Analyse 2.