Aproximação linear: exercícios resolvidos com respostas

Estes exercícios de aproximação linear começam com a construção de uma linearização, usam essa reta para estimar raízes, senos, logaritmos e potências e depois passam a diferenciais, erro de medida e estimativas por excesso ou por falta. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, seguidas das resoluções completas.

A linearização de f em x = a é a sua reta tangente:

Para x perto de a, f(x) \approx L(x). Para o raciocínio e mais exemplos, leia o guia de aproximação linear.

Exercícios

Linearização

1. Encontre a linearização de f(x) = \sqrt{x} em a = 4.
2. Use o exercício 1 para estimar \sqrt{4.1}.
3. Estime \sqrt[3]{8.2}.

Estimativa de valores

4. Estime \sin(0.1).
5. Estime \ln(1.05).
6. Estime e^{0.02}.
7. Estime (1.01)^{10}.
8. Estime \cos 62^\circ.

Diferenciais e erro

9. Para y = x^3, encontre dy e \Delta y quando x = 2 e dx = 0.1.
10. O raio de uma bola é medido como 10 cm, com erro possível de 0.05 cm. Estime o erro possível no volume calculado.

Usando o resultado

11. A estimativa do exercício 2 é grande ou pequena demais? Explique.
12. Uma função tem f(3) = 5 e f'(3) = -2. Estime f(3.2).

Respostas

Resoluções passo a passo

1. f(4) = 2 e f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, então f'(4) = \frac{1}{4}:

2. Substitua x = 4.1 na reta:

3. Use f(x) = \sqrt[3]{x} em a = 8, já que \sqrt[3]{8} = 2. A derivada é f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}, então f'(8) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{12}:

4. Use f(x) = \sin x em a = 0. f(0) = 0 e f'(0) = \cos 0 = 1, então L(x) = x:

Essa é a aproximação para ângulos pequenos \sin x \approx x, que só funciona em radianos.

5. Use f(x) = \ln x em a = 1. f(1) = 0 e f'(1) = 1, então L(x) = x - 1:

6. Use f(x) = e^x em a = 0. f(0) = 1 e f'(0) = 1, então L(x) = 1 + x:

7. Use f(x) = x^{10} em a = 1. f(1) = 1 e f'(x) = 10x^9, então f'(1) = 10:

8. Trabalhe em radianos. Use a = 60^\circ = \frac{\pi}{3}, em que \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} e a inclinação é -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}. O passo é 2^\circ = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90}:

9. O diferencial é dy = f'(x)\,dx = 3x^2\,dx:

A variação real é \Delta y = (2.1)^3 - 2^3 = 9.261 - 8 = 1.261. O diferencial é uma estimativa próxima, porém mais simples.

10. O volume é V = \frac{4}{3}\pi r^3, então dV = 4\pi r^2\,dr:

O volume é \frac{4000\pi}{3} \approx 4189 cm³, então o erro relativo é \frac{20\pi}{4000\pi/3} = 0.015, ou 1.5\%. Isso é o triplo do erro de 0.5\% no raio, porque o raio está elevado ao cubo.

11. Para f(x) = \sqrt{x}, f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0, então o gráfico tem concavidade para baixo. Uma curva com concavidade para baixo fica abaixo das suas retas tangentes, então a estimativa 2.025 é um pouco grande demais. O valor real 2.02485 confirma isso.

12. Use a linearização em a = 3:

Erros comuns nestes exercícios

• Escolher um a distante. Para estimar \sqrt{4.1}, use a = 4, e não a = 1. Quanto mais perto estiver o a, melhor a estimativa.
• Usar graus. No exercício 8, o passo precisa estar em radianos, \frac{\pi}{90}, e não 2.
• Confundir dy com \Delta y. dy é a variação ao longo da reta tangente, e \Delta y é a variação real ao longo da curva.
• Errar o x - a. No exercício 3, o passo é 8.2 - 8 = 0.2, e não 8.2.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limite, com novos números e correção na hora, faça a lição de aproximação linear e TVM. O Teorema do Valor Médio é a versão exata da mesma ideia: a inclinação média em um intervalo é igual à inclinação da tangente em algum ponto dentro dele. Quando você precisar de mais precisão do que uma reta oferece, o próximo passo são os polinômios de Taylor.