Volumes de révolution : exercices corrigés avec réponses

Ces exercices sur les volumes de révolution portent sur les méthodes des disques, des anneaux et des tubes cylindriques, la rotation autour de l'axe des y, et la rotation autour de droites qui ne sont pas des axes. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier pour vérifier rapidement, puis les solutions complètes.

Les trois formules, pour une rotation autour de l'axe des x ou de l'axe des y :

Pour voir chaque type de tranche en image, lisez le guide des volumes de révolution.

Exercices

Disques autour de l'axe des x

1. y = \sqrt{x}, 0 \le x \le 4, autour de l'axe des x
2. y = x^2, 0 \le x \le 1, autour de l'axe des x
3. y = \sqrt{9 - x^2}, -3 \le x \le 3, autour de l'axe des x
4. y = \sin x, 0 \le x \le \pi, autour de l'axe des x

Anneaux

5. La région entre y = x et y = x^2, autour de l'axe des x
6. La région entre y = \sqrt{x} et y = x, autour de l'axe des x

Autour de l'axe des y

7. La région délimitée par y = x^2, y = 4 et l'axe des y (x \ge 0), autour de l'axe des y, avec des disques
8. La région sous y = x - x^2 sur [0, 1], autour de l'axe des y, avec des tubes
9. La région sous y = x^2 sur [0, 2], autour de l'axe des y, avec des tubes

Autres axes

10. La région entre y = x et y = x^2, autour de la droite y = -1
11. La région entre y = x^2 et y = 1, autour de la droite y = 1

Réponses

Solutions détaillées

1. Chaque tranche est un disque de rayon \sqrt{x} :

2. Le rayon vaut x^2, donc R^2 = x^4 :

3. Le carré du rayon vaut 9 - x^2 :

C'est une boule de rayon 3, et \frac{4}{3}\pi(3)^3 = 36\pi. Bonne vérification.

4. Utilisez \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} :

5. Sur [0, 1], la droite y = x est plus éloignée de l'axe, donc R = x et r = x^2 :

6. Sur [0, 1], \sqrt{x} \ge x, donc R = \sqrt{x} et r = x :

7. Découpez horizontalement. À la hauteur y, le rayon vaut x = \sqrt{y}, donc R^2 = y :

8. Un tube en x a pour rayon x et pour hauteur x - x^2 :

9. Un tube en x a pour rayon x et pour hauteur x^2 :

Les exercices 7 et 9 décrivent des solides différents qui ont le même volume. L'exercice 7 est le solide qui remplit le bol en forme de paraboloïde ; l'exercice 9 est le solide sous le bol, entre le bol et le cylindre x = 2. Ensemble, ils remplissent un cylindre de rayon 2 et de hauteur 4, de volume 16\pi.

10. Mesurez à partir de y = -1. Le rayon extérieur vaut x + 1 et le rayon intérieur x^2 + 1 :

11. La région touche la droite y = 1, donc utilisez des disques. Le rayon vaut 1 - x^2, et les courbes se coupent en x = \pm 1 :

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Écrire (R - r)^2. Dans l'exercice 5, \pi\int(x - x^2)^2\,dx donne \frac{\pi}{30}, et non \frac{2\pi}{15}. Élevez chaque rayon au carré séparément.
• Mesurer à partir du mauvais axe. Dans l'exercice 10, les rayons valent x + 1 et x^2 + 1, et non x et x^2.
• Oublier le \pi ou le 2\pi. Les formules des disques et des anneaux commencent par \pi. Celle des tubes commence par 2\pi.
• Mélanger les variables. Les tranches horizontales demandent que tout soit exprimé en y, y compris les bornes.

Continuer à s'entraîner

Pour des solides illimités avec une correction immédiate, essayez la leçon sur les disques, la leçon sur les anneaux et la leçon sur les sections. Si une région s'étend à l'infini, les exercices sur les intégrales impropres montrent comment la traiter.