Função Afim (Linear) f(x) = mx + b: Gráfico, Derivada e Integral

Uma função afim, também chamada de função linear ou função do primeiro grau, tem taxa de variação constante, então seu gráfico é uma reta. Escrevendo f(x) = mx + b, o número m é a inclinação, ou coeficiente angular (quanto f sobe por unidade de x), e b é o coeficiente linear, o intercepto no eixo y (o valor da função em x = 0).

Fórmula e formas

A mesma reta pode ser escrita de outras maneiras, dependendo do que você conhece:

A forma ponto-inclinação é a mais usada no cálculo, porque uma reta tangente é construída a partir de um ponto (a, f(a)) e de uma inclinação f'(a).

Gráfico de uma função afim

• m > 0: crescente. m < 0: decrescente. m = 0: uma reta horizontal, a função constante.
• Quanto maior for |m|, mais inclinada é a reta.
• O intercepto no eixo x (a raiz) é onde mx + b = 0, isto é, x = -\frac{b}{m} quando m \ne 0.

Derivada de uma função afim

A derivada de mx é m pela regra da potência e pela regra da constante multiplicada, e a derivada de b é 0. Isso combina com a geometria: a reta tangente a uma reta é a própria reta, e sua inclinação nunca muda. A segunda derivada é 0, então uma reta não tem concavidade.

Integral de uma função afim

Integrar uma reta dá uma função quadrática. Em uma integral definida sobre [a, b], a região sob uma reta é um trapézio (ou dois triângulos, se ela cruzar o eixo), então dá para conferir qualquer resposta com geometria.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: inclinação a partir de dois pontos. Encontre a reta que passa por (1, 3) e (4, 9).

Exemplo 2: derivada. Se f(x) = -4x + 7, então f'(x) = -4 para todo x.

Exemplo 3: integral definida. Calcule \int_0^2 (3x + 1)\,dx.

Conferindo: a região é um trapézio com lados paralelos f(0) = 1 e f(2) = 7 e largura 2, então sua área é \frac{1 + 7}{2} \cdot 2 = 8.

Exemplo 4: uma reta tangente. A reta tangente a y = x^2 em x = 3 tem inclinação 2(3) = 6 e passa por (3, 9), então é a função afim y = 6x - 9.

Erros comuns

1. Trocar a ordem na fórmula da inclinação. Mantenha o mesmo ponto primeiro no numerador e no denominador: \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, e não \frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}.
2. Chamar f(x) = x^2 + 1 de afim. Afim significa que a variável aparece apenas na primeira potência.
3. Integrar mx como mx^2. A regra da potência inversa divide pelo novo expoente: \int mx\,dx = \frac{m}{2}x^2 + C.
4. Confundir "função afim" com "equação linear em duas incógnitas". Uma reta vertical x = 2 é uma equação linear, mas não é uma função.

Como se conecta

As retas são a razão de existir das derivadas: a derivada em um ponto é a inclinação da reta que melhor se ajusta à curva ali. Essa ideia está por trás das retas tangentes, da aproximação linear e do método de Newton. As retas são funções polinomiais de grau um, e integrá-las leva às funções quadráticas.