Betragsfunktion |x|: Graph, Ableitung, Integral und Knickstelle

Die Betragsfunktion f(x) = |x| gibt den Abstand von x zu 0 auf dem Zahlenstrahl an und entfernt damit jedes Minuszeichen: |3| = 3 und |-3| = 3. Ihr V-förmiger Graph ist das klassische Beispiel für eine Funktion, die überall stetig ist, aber eine Stelle besitzt, an der die Ableitung nicht existiert.

Formel

Sie ist eine abschnittsweise definierte Funktion, zusammengesetzt aus zwei linearen Funktionen. Gleichwertig gilt |x| = \sqrt{x^2}, was sie mit der Wurzelfunktion verbindet.

Graph von |x|

Die allgemeine Form y = a|x - h| + k ist ein V mit Scheitel (h, k), nach oben geöffnet für a > 0 und nach unten für a < 0, mit den Steigungen \pm a an den beiden Ästen.

Wichtige Eigenschaften

• Definitionsbereich alle reellen Zahlen; Wertebereich [0, \infty).
• Gerade Funktion: |-x| = |x|, symmetrisch zur y-Achse.
• Überall stetig, auch bei 0.
• Globales Minimum 0 bei x = 0. Diese Stelle ist ein kritischer Punkt, weil f'(0) nicht existiert.
• Dreiecksungleichung: |a + b| \le |a| + |b|.
• Produkte lassen sich aufteilen, Summen nicht: |ab| = |a||b|, aber |a + b| ist meist nicht gleich |a| + |b|.

Ableitung von |x|

Für x \ne 0:

Bei x = 0 sind die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten

Sie stimmen nicht überein, also existiert f'(0) nicht. Das ist der Lehrbuchfall dafür, wann Ableitungen nicht existieren: ein Knick. Mit der Kettenregel gilt \frac{d}{dx}|g(x)| = \frac{g(x)}{|g(x)|}g'(x) überall dort, wo g(x) \ne 0 ist.

Integral von |x|

Prüfe es stückweise: Für x > 0 ist das \frac{x^2}{2} mit der Ableitung x = |x|; für x < 0 ist es -\frac{x^2}{2} mit der Ableitung -x = |x|. Bei einem bestimmten Integral teilst du an der Stelle auf, an der der Ausdruck im Betrag sein Vorzeichen wechselt.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: bestimmtes Integral. Berechne \int_{-1}^{2}|x|\,dx, indem du bei 0 aufteilst:

Geometrisch sind das zwei Dreiecke mit den Flächen \frac{1}{2} und 2.

Beispiel 2: ein verschobener Betrag. g(x) = |x - 3| hat für x > 3 die Ableitung 1 und für x < 3 die Ableitung -1 und ist bei x = 3 nicht differenzierbar.

Beispiel 3: Kettenregel. Für x \ne 2 gilt \frac{d}{dx}|2x - 4| = \frac{2x - 4}{|2x - 4|} \cdot 2, also 2 für x > 2 und -2 für x < 2.

Beispiel 4: ein Grenzwert. \lim_{x \to 0}\frac{|x|}{x} existiert nicht, denn von rechts ergibt sich 1 und von links -1.

Häufige Fehler

1. Behaupten, |x| sei bei 0 nicht stetig. Die Funktion ist dort stetig, nur nicht differenzierbar.
2. |{-x}| = -|x| schreiben. Ein Betrag ist nie negativ: |-x| = |x|.
3. Über 0 hinweg integrieren, ohne aufzuteilen. \int_{-1}^{2}|x|\,dx ist nicht \frac{2^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2}.
4. Vergessen, dass es ein kritischer Punkt ist. Bei der Suche nach Extremstellen gehören auch Stellen dazu, an denen die Ableitung nicht existiert, wie der Scheitel eines V.

Zusammenhänge

Beträge tauchen in \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C auf, in der Epsilon-Delta-Definition des Grenzwerts und bei der absoluten Konvergenz von Reihen in den Konvergenzkriterien. Mehr über Knicke und andere Stellen, an denen Ableitungen nicht existieren, findest du im Leitfaden zur Stetigkeit.