Función valor absoluto |x|: gráfica, derivada, integral y pico

La función valor absoluto f(x) = |x| da la distancia de x a 0 en la recta numérica, por lo que elimina cualquier signo negativo: |3| = 3 y |-3| = 3. Su gráfica en forma de V es el ejemplo clásico de una función continua en todo punto que tiene un punto donde la derivada no existe.

Fórmula

Es una función definida por partes formada por dos funciones lineales. De forma equivalente, |x| = \sqrt{x^2}, lo que la relaciona con la función raíz cuadrada.

Gráfica de |x|

La forma general y = a|x - h| + k es una V con vértice (h, k), que abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0, con pendientes laterales \pm a.

Propiedades clave

• Dominio: todos los reales; rango: [0, \infty).
• Función par: |-x| = |x|, simétrica respecto al eje y.
• Continua en todo punto, incluido el 0.
• Mínimo absoluto de 0 en x = 0, que es un punto crítico porque f'(0) no existe.
• Desigualdad triangular: |a + b| \le |a| + |b|.
• Los productos se separan, las sumas no: |ab| = |a||b|, pero |a + b| en general no es |a| + |b|.

Derivada de |x|

Para x \ne 0:

En x = 0 los límites laterales del cociente incremental son

No coinciden, así que f'(0) no existe. Es el caso de libro de cuándo falla la derivada: un pico. Con la regla de la cadena, \frac{d}{dx}|g(x)| = \frac{g(x)}{|g(x)|}g'(x) siempre que g(x) \ne 0.

Integral de |x|

Compruébalo por tramos: para x > 0 es \frac{x^2}{2}, con derivada x = |x|; para x < 0 es -\frac{x^2}{2}, con derivada -x = |x|. Para una integral definida, divide en el punto donde el interior cambia de signo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: integral definida. Calcula \int_{-1}^{2}|x|\,dx dividiendo en 0:

Geométricamente, son dos triángulos de áreas \frac{1}{2} y 2.

Ejemplo 2: un valor absoluto desplazado. g(x) = |x - 3| tiene derivada 1 para x > 3 y -1 para x < 3, y no es derivable en x = 3.

Ejemplo 3: regla de la cadena. Para x \ne 2, \frac{d}{dx}|2x - 4| = \frac{2x - 4}{|2x - 4|} \cdot 2, que vale 2 para x > 2 y -2 para x < 2.

Ejemplo 4: un límite. \lim_{x \to 0}\frac{|x|}{x} no existe, porque vale 1 por la derecha y -1 por la izquierda.

Errores comunes

1. Decir que |x| no es continua en 0. Es continua; solo deja de ser derivable allí.
2. Escribir |{-x}| = -|x|. El valor absoluto nunca es negativo: |-x| = |x|.
3. Integrar a través del 0 sin dividir. \int_{-1}^{2}|x|\,dx no es \frac{2^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2}.
4. Olvidar que es un punto crítico. Al buscar extremos, incluye los puntos donde la derivada no existe, como el vértice de una V.

Cómo se relaciona

Los valores absolutos aparecen en \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C, en la definición épsilon-delta de límite y en la convergencia absoluta de series dentro de los criterios de convergencia. Para saber más sobre picos y otros puntos donde falla la derivada, consulta la guía de continuidad.