Funções Hiperbólicas senh, cosh, tanh: Gráficos, Derivadas, Integrais

As funções hiperbólicas \sinh x, \cosh x e \tanh x são combinações de e^x e e^{-x} que se comportam de forma surpreendentemente parecida com as funções trigonométricas. Elas compartilham quase as mesmas identidades e regras de derivação, mas com algumas trocas de sinal, e descrevem formas reais, como a de um cabo pendurado.

Definições

Somando as duas primeiras, obtemos \cosh x + \sinh x = e^x, ou seja, elas dividem a função exponencial natural em uma parte par (\cosh) e uma parte ímpar (\sinh). As recíprocas são definidas exatamente como suas primas trigonométricas: \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}, \operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} e \coth x = \frac{1}{\tanh x}.

Gráficos de senh, cosh e tanh

\tanh x tem as assíntotas horizontais y = 1 e y = -1, já que \tanh x \to 1 quando x \to \infty e \tanh x \to -1 quando x \to -\infty.

Identidades hiperbólicas

A identidade central sai diretamente das definições:

Compare com \cos^2 x + \sin^2 x = 1. Outras identidades úteis:

• 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x
• \sinh(2x) = 2\sinh x\cosh x
• \cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x

Derivadas das funções hiperbólicas

Cada uma decorre de \frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}. Por exemplo,

Para \tanh x, a regra do quociente dá \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x.

Integrais das funções hiperbólicas

A integral de \tanh usa u = \cosh x: \int\frac{\sinh x}{\cosh x}\,dx = \ln|\cosh x| + C, e o módulo pode ser retirado porque \cosh x \ge 1.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: regra da cadeia. \frac{d}{dx}\cosh(x^2) = 2x\sinh(x^2).

Exemplo 2: calculando um valor. Calcule \cosh(\ln 2). Como e^{\ln 2} = 2 e e^{-\ln 2} = \frac{1}{2},

Exemplo 3: uma integral definida. \int_0^{1}\cosh x\,dx = \sinh 1 - \sinh 0 = \frac{e - e^{-1}}{2} \approx 1.175.

Exemplo 4: substituição. \int\sinh(3x)\,dx = \frac{1}{3}\cosh(3x) + C.

Erros comuns

1. Copiar o sinal de menos da trigonometria. \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x, e não -\sinh x.
2. Usar a identidade trigonométrica. O correto é \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, com sinal de menos.
3. Esperar periodicidade. As funções hiperbólicas nunca se repetem. \sinh e \cosh crescem como \frac{e^x}{2} para x grande.
4. Confundir \sinh x com \sin x. São funções diferentes; \sinh 0 = 0, assim como \sin 0, mas \sinh x é ilimitada.

Onde as funções hiperbólicas aparecem

Um cabo pendurado assume a forma de uma catenária, y = a\cosh\frac{x}{a}, e seu comprimento de arco é fácil de calcular porque 1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x. A substituição x = \sinh t é uma alternativa à substituição trigonométrica em integrais com \sqrt{1 + x^2}. As funções hiperbólicas também têm séries de Taylor bem organizadas: \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots, a série do seno com todos os sinais positivos. Para rever as derivadas de exponenciais por trás de tudo isso, veja derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.