Funciones hiperbólicas senh, cosh y tanh: gráficas y derivadas

Las funciones hiperbólicas \sinh x, \cosh x y \tanh x son combinaciones de e^x y e^{-x} que se comportan de forma muy parecida a las funciones trigonométricas. Comparten casi las mismas identidades y reglas de derivación, con algunos cambios de signo, y describen formas reales como un cable colgante.

Definiciones

Sumando las dos primeras se obtiene \cosh x + \sinh x = e^x, así que dividen la función exponencial natural en una parte par (\cosh) y una parte impar (\sinh). Las recíprocas se definen igual que sus primas trigonométricas: \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}, \operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} y \coth x = \frac{1}{\tanh x}.

Gráficas de senh, cosh y tanh

\tanh x tiene asíntotas horizontales y = 1 e y = -1, ya que \tanh x \to 1 cuando x \to \infty y \tanh x \to -1 cuando x \to -\infty.

Identidades hiperbólicas

La identidad central sale directamente de las definiciones:

Compárala con \cos^2 x + \sin^2 x = 1. Otras identidades útiles:

• 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x
• \sinh(2x) = 2\sinh x\cosh x
• \cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x

Derivadas de las funciones hiperbólicas

Cada una se deduce de \frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}. Por ejemplo,

Para \tanh x, la regla del cociente da \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x.

Integrales de las funciones hiperbólicas

La integral de \tanh usa u = \cosh x: \int\frac{\sinh x}{\cosh x}\,dx = \ln|\cosh x| + C, y el valor absoluto se puede quitar porque \cosh x \ge 1.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: regla de la cadena. \frac{d}{dx}\cosh(x^2) = 2x\sinh(x^2).

Ejemplo 2: evaluar. Calcula \cosh(\ln 2). Como e^{\ln 2} = 2 y e^{-\ln 2} = \frac{1}{2},

Ejemplo 3: una integral definida. \int_0^{1}\cosh x\,dx = \sinh 1 - \sinh 0 = \frac{e - e^{-1}}{2} \approx 1.175.

Ejemplo 4: sustitución (cambio de variable). \int\sinh(3x)\,dx = \frac{1}{3}\cosh(3x) + C.

Errores comunes

1. Copiar el signo menos de la trigonometría. \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x, no -\sinh x.
2. Usar la identidad trigonométrica. Es \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, con signo menos.
3. Esperar periodicidad. Las funciones hiperbólicas nunca se repiten. \sinh y \cosh crecen como \frac{e^x}{2} para x grande.
4. Confundir \sinh x con \sin x. Son funciones distintas; \sinh 0 = 0 como \sin 0, pero \sinh x no está acotada.

Dónde aparecen las funciones hiperbólicas

Un cable colgante adopta la forma de una catenaria, y = a\cosh\frac{x}{a}, y su longitud de arco es fácil de calcular porque 1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x. La sustitución x = \sinh t es una alternativa a la sustitución trigonométrica para integrales con \sqrt{1 + x^2}. Las funciones hiperbólicas también tienen series de Taylor muy limpias: \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots, la serie del seno con todos los signos positivos. Para repasar las derivadas exponenciales que hay detrás de todo esto, consulta derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.