Hyperbelfunktionen sinh, cosh, tanh: Graphen, Ableitungen, Integrale

Die Hyperbelfunktionen \sinh x, \cosh x und \tanh x sind Kombinationen aus e^x und e^{-x}, die sich erstaunlich ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen verhalten. Sie haben fast dieselben Identitäten und Ableitungsregeln, nur mit ein paar anderen Vorzeichen, und sie beschreiben reale Formen wie ein durchhängendes Seil.

Definitionen

Addiert man die ersten beiden, erhält man \cosh x + \sinh x = e^x. Sie zerlegen also die natürliche Exponentialfunktion in einen geraden Anteil (\cosh) und einen ungeraden Anteil (\sinh). Die Kehrwertfunktionen sind genau wie ihre trigonometrischen Verwandten definiert: \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}, \operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} und \coth x = \frac{1}{\tanh x}.

Graphen von sinh, cosh und tanh

\tanh x hat die waagerechten Asymptoten y = 1 und y = -1, denn \tanh x \to 1 für x \to \infty und \tanh x \to -1 für x \to -\infty.

Identitäten der Hyperbelfunktionen

Die zentrale Identität folgt direkt aus den Definitionen:

Vergleiche sie mit \cos^2 x + \sin^2 x = 1. Weitere nützliche Identitäten:

• 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x
• \sinh(2x) = 2\sinh x\cosh x
• \cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x

Ableitungen der Hyperbelfunktionen

Jede davon folgt aus \frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}. Zum Beispiel gilt

Für \tanh x liefert die Quotientenregel \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x.

Integrale der Hyperbelfunktionen

Für das Integral von \tanh substituiert man u = \cosh x: \int\frac{\sinh x}{\cosh x}\,dx = \ln|\cosh x| + C. Die Betragsstriche können entfallen, weil \cosh x \ge 1 ist.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Kettenregel. \frac{d}{dx}\cosh(x^2) = 2x\sinh(x^2).

Beispiel 2: Funktionswert berechnen. Bestimme \cosh(\ln 2). Wegen e^{\ln 2} = 2 und e^{-\ln 2} = \frac{1}{2} gilt

Beispiel 3: ein bestimmtes Integral. \int_0^{1}\cosh x\,dx = \sinh 1 - \sinh 0 = \frac{e - e^{-1}}{2} \approx 1.175.

Beispiel 4: Substitutionsregel. \int\sinh(3x)\,dx = \frac{1}{3}\cosh(3x) + C.

Häufige Fehler

1. Das Minuszeichen aus der Trigonometrie übernehmen. \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x, nicht -\sinh x.
2. Die trigonometrische Identität verwenden. Es gilt \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, mit einem Minuszeichen.
3. Periodizität erwarten. Hyperbelfunktionen wiederholen sich nie. \sinh und \cosh wachsen für große x wie \frac{e^x}{2}.
4. \sinh x mit \sin x verwechseln. Es sind verschiedene Funktionen; \sinh 0 = 0 wie \sin 0, aber \sinh x ist unbeschränkt.

Wo Hyperbelfunktionen vorkommen

Ein durchhängendes Seil hat die Form einer Kettenlinie, y = a\cosh\frac{x}{a}, und ihre Bogenlänge lässt sich leicht berechnen, weil 1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x gilt. Die Substitution x = \sinh t ist eine Alternative zur trigonometrischen Substitution bei Integralen mit \sqrt{1 + x^2}. Hyperbelfunktionen haben außerdem übersichtliche Taylorreihen: \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots, die Sinusreihe mit lauter positiven Vorzeichen. Die Ableitungen von Exponentialfunktionen, auf denen all das beruht, findest du unter Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen.