Função Exponencial Natural eˣ: Gráfico, Derivada e Integral

A função exponencial natural f(x) = e^x é a função exponencial cuja base é o número de Euler, e \approx 2.71828. Ela é a função mais importante do cálculo, porque é a sua própria derivada: a taxa com que e^x cresce é sempre igual ao seu valor atual.

Fórmula e o número e

Toda função exponencial b^x tem em x = 0 uma inclinação proporcional à sua altura. A base e é a única escolha que torna a inclinação em x = 0 exatamente 1, e é por isso que as derivadas de e^x ficam tão simples.

Gráfico de eˣ

Propriedades principais

• Domínio todos os reais, imagem (0, \infty): e^x é sempre positiva.
• Sempre crescente e sempre com concavidade para cima, já que f'(x) = f''(x) = e^x > 0.
• Assíntota horizontal y = 0: \lim_{x \to -\infty}e^x = 0, enquanto \lim_{x \to \infty}e^x = \infty.
• Inversa do logaritmo natural: e^{\ln x} = x para x > 0 e \ln(e^x) = x para todo x. Veja o logaritmo natural.
• Propriedades das potências: e^{a+b} = e^ae^b, e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}, (e^a)^b = e^{ab}, e^0 = 1.
• Cresce mais rápido que qualquer potência: \lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = 0 para todo n.
• Série de potências: e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots, válida para todo x.

Derivada de eˣ

Com a regra da cadeia:

O expoente nunca "desce" para a frente. Isso é a regra da potência, que não se aplica aqui.

Integral de eˣ

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. \frac{d}{dx}e^{3x} = 3e^{3x}.

Exemplo 2: regra da cadeia. \frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x\,e^{x^2}.

Exemplo 3: regra do produto. \frac{d}{dx}\left(x e^x\right) = e^x + xe^x = (1 + x)e^x.

Exemplo 4: integral definida. \int_0^{\ln 2}e^x\,dx = e^{\ln 2} - e^0 = 2 - 1 = 1.

Exemplo 5: substituição. Com u = x^2, \int 2x\,e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C.

Exemplo 6: crescimento exponencial. A solução de y' = ky com y(0) = y_0 é y = y_0e^{kt}. É por isso que e aparece no crescimento populacional, no decaimento radioativo e nos juros compostos contínuos.

Erros comuns

1. Usar a regra da potência. \frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x-1}.
2. Esquecer o fator da regra da cadeia. \frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}, e não e^{5x}.
3. Integrar e^{kx} sem dividir por k. \int e^{4x}\,dx = \frac{1}{4}e^{4x} + C.
4. Tratar e^2 como variável. e^2 é uma constante, então sua derivada é 0.
5. Escrever e^{a+b} = e^a + e^b. Os expoentes se somam quando se multiplica: e^{a+b} = e^ae^b.

Como se conecta

e^x é a inversa de \ln x e a base das funções hiperbólicas. Qualquer exponencial pode ser reescrita na base e: b^x = e^{x\ln b}. Para um passo a passo completo com mais prática, leia o guia de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas e veja as séries de Taylor para a sua expansão em série.