Secante, cossecante e cotangente: gráficos, derivadas e integrais
As funções trigonométricas recíprocas sec x, csc x e cot x: definições, gráficos, assíntotas, derivadas e integrais, com exemplos resolvidos.
Funções trigonométricas Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Domínio de sec x
- x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Imagem de sec x
- (-\infty, -1] \cup [1, \infty)
- Derivada
- \sec x \tan x
- Integral
- \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C
- Períodos
- \sec e \csc: 2\pi; \cot: \pi
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As funções trigonométricas recíprocas são a secante, a cossecante e a cotangente. Cada uma é um dividido por uma função trigonométrica básica: \sec x = \frac{1}{\cos x}, \csc x = \frac{1}{\sin x} e \cot x = \frac{1}{\tan x}. Elas aparecem o tempo todo em fórmulas de derivadas e integrais, então, mesmo que você raramente faça o gráfico delas, precisa conhecer seus resultados de cálculo.
Definições
Um jeito rápido de lembrar os pares: cada função da esquerda tem exatamente um "co" entre ela e sua parceira. A secante anda com o cosseno, a cossecante anda com o seno.
| Função | Recíproca de | Não definida em | Período | Imagem |
|---|---|---|---|---|
| \sec x | \cos x | x = \frac{\pi}{2} + k\pi | 2\pi | \lvert y\rvert \ge 1 |
| \csc x | \sin x | x = k\pi | 2\pi | \lvert y\rvert \ge 1 |
| \cot x | \tan x | x = k\pi | \pi | todos os reais |
Gráficos da secante e da cossecante
A secante nunca fica entre -1 e 1: dividir 1 por um número em [-1, 1] sempre dá algo de valor absoluto pelo menos 1. O gráfico da cossecante tem a mesma forma deslocada \frac{\pi}{2} para a direita, com assíntotas nos múltiplos de \pi.
Derivadas de sec, csc e cot
| Função | Derivada |
|---|---|
| \sec x | \sec x\tan x |
| \csc x | -\csc x\cot x |
| \cot x | -\csc^2 x |
Por que (\sec x)' = \sec x\tan x. Escreva \sec x = (\cos x)^{-1} e use a regra da cadeia:
Os mesmos passos com \sin x dão (\csc x)' = -\csc x\cot x, e a regra do quociente aplicada a \frac{\cos x}{\sin x} dá (\cot x)' = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\csc^2 x.
Integrais de sec, csc e cot
| Função | Integral |
|---|---|
| \sec x | \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C |
| \csc x | -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C |
| \cot x | \ln\lvert\sin x\rvert + C |
| \sec^2 x | \tan x + C |
| \csc^2 x | -\cot x + C |
| \sec x\tan x | \sec x + C |
| \csc x\cot x | -\csc x + C |
A integral da secante. Multiplique o numerador e o denominador por \sec x + \tan x:
O numerador é exatamente a derivada do denominador, então com u = \sec x + \tan x a integral fica \int\frac{du}{u} = \ln|\sec x + \tan x| + C.
A integral da cotangente. Com u = \sin x, \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int\frac{du}{u} = \ln|\sin x| + C.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1. Derive f(x) = \sec(2x). Pela regra da cadeia, f'(x) = 2\sec(2x)\tan(2x).
Exemplo 2. Derive g(x) = x\cot x. Pela regra do produto, g'(x) = \cot x - x\csc^2 x.
Exemplo 3. Calcule \int_0^{\pi/3}\sec x\tan x\,dx. A antiderivada é \sec x, então a resposta é \sec\frac{\pi}{3} - \sec 0 = 2 - 1 = 1.
Exemplo 4. Calcule \int \csc^2(5x)\,dx. Com u = 5x, o resultado é -\frac{1}{5}\cot(5x) + C.
Erros comuns
- Confundir recíprocas com inversas. \sec x = \frac{1}{\cos x}, mas \cos^{-1}x indica o arco-cosseno.
- Associar a secante ao seno. A secante é a recíproca do cosseno, e a cossecante é a recíproca do seno.
- Perder os sinais de menos. As derivadas de \csc x e de \cot x são ambas negativas.
- Chutar que \int\sec x\,dx = \sec x\tan x. Isso é a derivada, não a integral.
Onde você vai usá-las
As identidades 1 + \tan^2 x = \sec^2 x e 1 + \cot^2 x = \csc^2 x são a base da substituição trigonométrica, em que \sqrt{1 + x^2} vira \sec\theta. A secante também aparece como a derivada da tangente, (\tan x)' = \sec^2 x. Para um resumo lado a lado das seis derivadas trigonométricas, veja derivadas das funções trigonométricas.
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