Secante, cosecante y cotangente: gráficas, derivadas e integrales
Las funciones trigonométricas recíprocas sec x, csc x y cot x: definiciones, gráficas, asíntotas, sus derivadas e integrales, con ejemplos resueltos.
Funciones trigonométricas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Dominio de sec x
- x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Rango de sec x
- (-\infty, -1] \cup [1, \infty)
- Derivada
- \sec x \tan x
- Integral
- \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C
- Periodos
- \sec y \csc: 2\pi; \cot: \pi
En esta página
Las funciones trigonométricas recíprocas son la secante, la cosecante y la cotangente. Cada una es uno dividido entre una función trigonométrica básica: \sec x = \frac{1}{\cos x}, \csc x = \frac{1}{\sin x} y \cot x = \frac{1}{\tan x}. Aparecen constantemente en las fórmulas de derivadas e integrales, así que, aunque rara vez las grafiques, necesitas conocer sus propiedades de cálculo.
Definiciones
Una forma rápida de recordar las parejas: cada función de la izquierda tiene exactamente un "co" entre ella y su pareja. La secante va con el coseno, la cosecante va con el seno.
| Función | Recíproca de | No definida en | Periodo | Rango |
|---|---|---|---|---|
| \sec x | \cos x | x = \frac{\pi}{2} + k\pi | 2\pi | \lvert y\rvert \ge 1 |
| \csc x | \sin x | x = k\pi | 2\pi | \lvert y\rvert \ge 1 |
| \cot x | \tan x | x = k\pi | \pi | todos los reales |
Gráficas de la secante y la cosecante
La secante nunca está entre -1 y 1: dividir 1 entre un número de [-1, 1] siempre da algo de tamaño al menos 1. La gráfica de la cosecante tiene la misma forma desplazada \frac{\pi}{2} hacia la derecha, con asíntotas en los múltiplos de \pi.
Derivadas de sec, csc y cot
| Función | Derivada |
|---|---|
| \sec x | \sec x\tan x |
| \csc x | -\csc x\cot x |
| \cot x | -\csc^2 x |
Por qué (\sec x)' = \sec x\tan x. Escribe \sec x = (\cos x)^{-1} y usa la regla de la cadena:
Los mismos pasos con \sin x dan (\csc x)' = -\csc x\cot x, y la regla del cociente aplicada a \frac{\cos x}{\sin x} da (\cot x)' = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\csc^2 x.
Integrales de sec, csc y cot
| Función | Integral |
|---|---|
| \sec x | \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C |
| \csc x | -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C |
| \cot x | \ln\lvert\sin x\rvert + C |
| \sec^2 x | \tan x + C |
| \csc^2 x | -\cot x + C |
| \sec x\tan x | \sec x + C |
| \csc x\cot x | -\csc x + C |
La integral de la secante. Multiplica numerador y denominador por \sec x + \tan x:
El numerador es exactamente la derivada del denominador, así que con u = \sec x + \tan x la integral es \int\frac{du}{u} = \ln|\sec x + \tan x| + C.
La integral de la cotangente. Con u = \sin x, \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int\frac{du}{u} = \ln|\sin x| + C.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1. Deriva f(x) = \sec(2x). Por la regla de la cadena, f'(x) = 2\sec(2x)\tan(2x).
Ejemplo 2. Deriva g(x) = x\cot x. Por la regla del producto, g'(x) = \cot x - x\csc^2 x.
Ejemplo 3. Evalúa \int_0^{\pi/3}\sec x\tan x\,dx. La antiderivada es \sec x, así que el resultado es \sec\frac{\pi}{3} - \sec 0 = 2 - 1 = 1.
Ejemplo 4. Evalúa \int \csc^2(5x)\,dx. Con u = 5x, el resultado es -\frac{1}{5}\cot(5x) + C.
Errores comunes
- Confundir recíprocas con inversas. \sec x = \frac{1}{\cos x}, pero \cos^{-1}x significa arcocoseno.
- Emparejar la secante con el seno. La secante es la recíproca del coseno, y la cosecante la recíproca del seno.
- Perder los signos menos. Las derivadas de \csc x y de \cot x son ambas negativas.
- Suponer que \int\sec x\,dx = \sec x\tan x. Esa es la derivada, no la integral.
Dónde las usarás
Las identidades 1 + \tan^2 x = \sec^2 x y 1 + \cot^2 x = \csc^2 x son la base de la sustitución trigonométrica, donde \sqrt{1 + x^2} se convierte en \sec\theta. La secante también aparece como derivada de la tangente, (\tan x)' = \sec^2 x. Para un resumen comparativo de las seis derivadas trigonométricas, consulta las derivadas de las funciones trigonométricas.
Practícalo ahora
Regla de la cadena: trigonometría
Resuelve problemas reales de este tema con corrección al instante, pistas y una solución paso a paso para cada respuesta. Gratis y sin registro para empezar.
Practicar esta lección