Integral de cos x: fórmula, dedução e exemplos

A integral de \cos x é \sin x + C. Como a derivada de \sin x é exatamente \cos x, essa é uma das integrais mais limpas que existem.

Gráfico de cos x e de sua primitiva

A primitiva \sin x atinge o máximo em x = \frac{\pi}{2}, exatamente onde \cos x passa de positivo para negativo.

Dedução, passo a passo

1. Pergunte: qual função tem derivada \cos x?
2. A derivada de sen x é \cos x.
3. Então \sin x é uma primitiva de \cos x.
4. Some C para incluir todas as primitivas: \sin x + C.

Aqui não é preciso corrigir sinal, ao contrário da integral de sen x.

Verificação por derivação

Integrais definidas

Como \cos x é par, \int_{-a}^{a}\cos x\,dx = 2\int_0^a\cos x\,dx = 2\sin a.

Variantes por substituição

Com u = ax + b:

Por exemplo, \int\cos(4x - 1)\,dx = \frac{1}{4}\sin(4x - 1) + C e \int\cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x) + C.

Quando a derivada da função de dentro aparece como fator, use a substituição (mudança de variável):

Na última, du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx, então \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\,du.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. \int(2\cos x - 3\sin x)\,dx = 2\sin x + 3\cos x + C. Repare como o menos na frente de \sin se combina com o menos de -\cos x e dá +3\cos x.

Exemplo 2. \int_0^{\pi/4}\cos(2x)\,dx = \left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}.

Exemplo 3: um problema de valor inicial. Se f'(x) = \cos x e f(0) = 3, então f(x) = \sin x + C e f(0) = C = 3, logo f(x) = \sin x + 3.

Exemplo 4: movimento harmônico simples. Se uma mola tem velocidade v(t) = 4\cos(2t) e posição s(0) = 0, então s(t) = 2\sin(2t). A amplitude é 2.

Erros comuns

1. Escrever -\sin x. Essa é a derivada de \cos x, e não a integral.
2. Esquecer de dividir por a. \int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C, e não \sin(3x) + C.
3. Integrar \cos^2 x como \sin^2 x ou \frac{\cos^3 x}{3}. Potências de funções trigonométricas exigem identidades. Veja a integral de cos² x.
4. Integrar \cos(x^2) como \frac{\sin(x^2)}{2x}. Não se pode dividir por uma derivada interna que depende da variável. \int\cos(x^2)\,dx não tem primitiva elementar.

Pratique com os exercícios de integrais trigonométricas.