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Integrale trigonometrischer Funktionen

Integral von cos x: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von cos x ist sin x + C. Warum hier kein Minuszeichen auftaucht, die Fläche eines Bogens, cos(ax + b) per Substitution und bestimmte Integrale.

Integrale trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\int \cos x\,dx = \sin x + C
Stammfunktion
\sin x + C
Fläche eines Bogens
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx = 2
Volle Periode
\int_0^{2\pi}\cos x\,dx = 0
Lineare Form
\int\cos(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\sin(ax + b) + C
Probe
\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x
Auf dieser Seite
  1. Graph von cos x und seiner Stammfunktion
  2. Herleitung Schritt für Schritt
  3. Probe durch Ableiten
  4. Bestimmte Integrale
  5. Varianten mit Substitution
  6. Rechenbeispiele
  7. Häufige Fehler

Das Integral von \cos x ist \sin x + C. Weil die Ableitung von \sin x genau \cos x ist, gehört dieses Integral zu den einfachsten überhaupt.

\int \cos x\,dx = \sin x + C

Graph von cos x und seiner Stammfunktion

Fläche unter y = cos x von -π/2 bis π/2, mit der Stammfunktion y = sin x
Der schraffierte Bogen hat den Flächeninhalt \sin\frac{\pi}{2} - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2. Die gestrichelte Kurve y = \sin x steigt auf demselben Intervall von -1 auf 1.

Die Stammfunktion \sin x hat ihr Maximum bei x = \frac{\pi}{2}, genau dort, wo \cos x von positiv nach negativ durch null geht.

Herleitung Schritt für Schritt

  1. Frage dich: Welche Funktion hat die Ableitung \cos x?
  2. Die Ableitung von sin x ist \cos x.
  3. Also ist \sin x eine Stammfunktion von \cos x.
  4. Ergänze C, um alle Stammfunktionen zu erfassen: \sin x + C.

Anders als beim Integral von sin x musst du hier kein Vorzeichen korrigieren.

Probe durch Ableiten

\frac{d}{dx}(\sin x + C) = \cos x \checkmark

Bestimmte Integrale

Integral Wert
\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1
\int_0^{\pi/6}\cos x\,dx \frac{1}{2}
\int_0^{\pi}\cos x\,dx 0
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx 2

Da \cos x gerade ist, gilt \int_{-a}^{a}\cos x\,dx = 2\int_0^a\cos x\,dx = 2\sin a.

Varianten mit Substitution

Mit u = ax + b:

\int\cos(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax + b) + C

Zum Beispiel ist \int\cos(4x - 1)\,dx = \frac{1}{4}\sin(4x - 1) + C und \int\cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x) + C.

Wenn die innere Ableitung als Faktor auftaucht, verwendest du die Substitutionsregel:

\int \cos x\,e^{\sin x}\,dx = e^{\sin x} + C \quad (u = \sin x)
\int \cos x\,\sin^3 x\,dx = \frac{\sin^4 x}{4} + C \quad (u = \sin x)
\int \frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sin(\sqrt{x}) + C \quad (u = \sqrt{x})

Beim letzten ist du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx, also \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\,du.

Rechenbeispiele

Beispiel 1. \int(2\cos x - 3\sin x)\,dx = 2\sin x + 3\cos x + C. Beachte, wie das Minus vor \sin mit dem Minus in -\cos x zusammen +3\cos x ergibt.

Beispiel 2. \int_0^{\pi/4}\cos(2x)\,dx = \left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}.

Beispiel 3: ein Anfangswertproblem. Ist f'(x) = \cos x und f(0) = 3, dann ist f(x) = \sin x + C und f(0) = C = 3, also f(x) = \sin x + 3.

Beispiel 4: harmonische Schwingung. Hat eine Feder die Geschwindigkeit v(t) = 4\cos(2t) und den Ort s(0) = 0, dann ist s(t) = 2\sin(2t). Die Amplitude ist 2.

Häufige Fehler

  1. -\sin x schreiben. Das ist die Ableitung von \cos x, nicht das Integral.
  2. Das Teilen durch a vergessen. \int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C, nicht \sin(3x) + C.
  3. \cos^2 x zu \sin^2 x oder \frac{\cos^3 x}{3} integrieren. Potenzen trigonometrischer Funktionen brauchen Identitäten. Siehe Integral von cos² x.
  4. \cos(x^2) zu \frac{\sin(x^2)}{2x} integrieren. Durch eine innere Ableitung, die eine Variable enthält, darfst du nicht einfach teilen. \int\cos(x^2)\,dx hat keine elementare Stammfunktion.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist das Integral von cos x?
Das Integral von \cos x ist \sin x + C.

Was ist das Integral von cos(2x)?
Es ist \frac{1}{2}\sin(2x) + C. Probe: Die Ableitung von \frac{1}{2}\sin(2x) ist \frac{1}{2}\cdot 2\cos(2x) = \cos(2x).

Was ist das Integral von cos x von 0 bis π?
Es ist \sin\pi - \sin 0 = 0. Die Fläche über der Achse auf \left[0, \frac{\pi}{2}\right] hebt die Fläche unter der Achse auf \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] auf.

Ist das Integral von cos x gleich -sin x?
Nein. -\sin x ist die Ableitung von \cos x. Das Integral ist +\sin x + C.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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