Integral de sen x: fórmula, dedução e exemplos
A integral de sen x é -cos x + C. Veja de onde vem o sinal de menos, a área de um arco, sen(ax + b) por substituição e integrais definidas resolvidas.
Integrais trigonométricas Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Primitiva
- -\cos x + C
- Área de um arco
- \int_0^\pi \sin x\,dx = 2
- Período completo
- \int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0
- Forma linear
- \int\sin(ax + b)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax + b) + C
- Verificação
- \dfrac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x
Nesta página
A integral de \sin x é -\cos x + C. A maioria dos erros com essa integral se resume a uma coisa: o sinal de menos.
Gráfico de sen x e de sua primitiva
Onde \sin x > 0 (de 0 a \pi), a primitiva -\cos x sobe. Onde \sin x < 0 (de \pi a 2\pi), ela desce de volta.
Dedução, passo a passo
- Pergunte: qual função tem derivada \sin x?
- Lembre a derivada de cos x: \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
- A forma está certa, mas o sinal está errado. Multiplique por -1: \frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x.
- Então -\cos x é uma primitiva, e somar C dá todas elas.
Um truque para memorizar: percorrer o ciclo \sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin é derivar. Percorrê-lo de trás para frente é integrar.
Verificação por derivação
Integrais definidas
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Outros valores úteis:
| Integral | Valor | Por quê |
|---|---|---|
| \int_0^{\pi/2}\sin x\,dx | 1 | -\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0 + 1 |
| \int_0^{\pi}\sin x\,dx | 2 | um arco completo |
| \int_0^{2\pi}\sin x\,dx | 0 | os dois arcos se cancelam |
| \int_{-a}^{a}\sin x\,dx | 0 | \sin x é ímpar |
Se você quiser a área total em [0, 2\pi] em vez da área com sinal, integre \lvert\sin x\rvert e obtenha 4.
Variantes por substituição
Com u = ax + b, du = a\,dx:
Assim, \int\sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C e \int\sin\left(\frac{x}{2}\right)dx = -2\cos\left(\frac{x}{2}\right) + C. Para \sin(2x) há uma página inteira: a integral de sen 2x.
Quando a derivada da função de dentro aparece, substitua:
Exemplos resolvidos
Exemplo 1. \int(3\sin x + 2x)\,dx = -3\cos x + x^2 + C.
Exemplo 2. \int_0^{\pi/3}\sin x\,dx = -\cos\frac{\pi}{3} + \cos 0 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.
Exemplo 3: posição a partir da velocidade. Uma partícula tem v(t) = \sin t e parte de s(0) = 0. Então s(t) = -\cos t + C, e s(0) = -1 + C = 0 dá C = 1, logo s(t) = 1 - \cos t.
Exemplo 4: valor médio. O valor médio de \sin x em [0, \pi] é \frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637.
Erros comuns
- Escrever \cos x + C. Confira derivando: \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, então o sinal está errado.
- Esquecer de dividir por a em \int\sin(ax)\,dx.
- Multiplicar por a em vez de dividir. \int\sin(3x)\,dx não é -3\cos(3x). Isso é o que a derivação faria.
- Erros de sinal em integrais definidas. Escreva [-\cos x] com colchetes e subtraia com cuidado: -\cos\pi = +1.
A seguir, veja a integral de cos x ou pratique com os exercícios de integrais trigonométricas.
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Seno, cosseno, eˣ e 1/x
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