Integração por substituição (mudança de variável): fórmula e exemplos
A integração por substituição inverte a regra da cadeia: ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du. Fórmula, como escolher u, limites na integral definida e exemplos.
Regras de integração Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Inverte
- A regra da cadeia para derivadas
- Use quando
- O integrando contém uma função interna g(x) e, a menos de uma constante, sua derivada g'(x)
- Passo-chave
- Faça u = g(x) e substitua dx usando du = g'(x)\,dx
- Integrais definidas
- Troque os limites para u = g(a) e u = g(b)
- Também chamada de
- Mudança de variável, substituição u, regra da substituição
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A integração por substituição (ou mudança de variável) é a regra da cadeia ao contrário. Quando um integrando contém uma função dentro de outra, junto com a derivada dessa função interna, uma única mudança de variável o transforma numa integral básica.
A fórmula da integração por substituição
Se u = g(x) é diferenciável e f é contínua, então
O truque está no diferencial: de u = g(x) você obtém du = g'(x)\,dx, que substitui de uma vez o fator que sobra e o dx.
Numa integral definida, os limites mudam junto com a variável:
Os passos
- Escolha u: a função interna de uma composição.
- Calcule du: du = g'(x)\,dx, e então isole dx ou o fator de que você precisa.
- Substitua: reescreva a integral inteira em u. Nenhum x pode sobrar.
- Integre em u com uma regra básica, como a regra da potência inversa.
- Volte à variável original com u = g(x), ou use os novos limites numa integral definida.
Como reconhecer
| Padrão do integrando | Boa escolha de u |
|---|---|
| (\text{algo})^n \cdot (\text{sua derivada}) | o algo |
| e^{g(x)}\,g'(x) | o expoente g(x) |
| \sin(g(x))\,g'(x), \cos(g(x))\,g'(x) | o ângulo g(x) |
| \frac{g'(x)}{g(x)} | o denominador g(x), dando \ln\lvert g(x)\rvert |
| f(ax + b) | a expressão linear interna ax + b |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: uma potência. Para \int 2x\,(x^2 + 1)^5\,dx, faça u = x^2 + 1, então du = 2x\,dx:
Exemplo 2: ajustando uma constante. Para \int x\,e^{x^2}\,dx, faça u = x^2, então du = 2x\,dx e x\,dx = \frac{1}{2}du:
Exemplo 3: uma expressão linear interna. Para \int \cos(3x)\,dx, faça u = 3x, então dx = \frac{1}{3}du:
Exemplo 4: aparece um logaritmo. Para \int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx, faça u = \cos x, então \sin x\,dx = -du:
Exemplo 5: uma integral definida. Para \int_0^1 2x\,(x^2+1)^3\,dx, faça u = x^2 + 1. Quando x = 0, u = 1; quando x = 1, u = 2:
Conferindo a resposta
Derive o resultado e você deve recuperar o integrando original, incluindo a derivada interna. No Exemplo 1, a regra da cadeia dá
que confere. Se a conferência der diferente por um fator constante, provavelmente você esqueceu de reescalar o du. Se der diferente por um fator que contém x, a substituição não era válida desde o início e você precisa de outro u ou de outra técnica.
Erros comuns
- Deixar x na integral. \int x^2 e^{x^2}\,dx com u = x^2 deixa um x a mais que não pode ser eliminado. A substituição falha aí, e nenhuma constante resolve.
- Esquecer de substituir dx. \int (2x+1)^3\,dx não é \frac{(2x+1)^4}{4} + C. Com du = 2\,dx a resposta é \frac{(2x+1)^4}{8} + C.
- Misturar limites. Depois de converter para u, use os limites em u. Colocar os limites antigos em x numa expressão em u dá um número errado.
- Não voltar à variável original. A resposta de uma integral indefinida precisa estar em função de x.
Onde ela se encaixa
A substituição é a primeira técnica a tentar depois das regras básicas e da linearidade. Se o integrando é um produto de duas funções sem relação entre si, como x\,e^{x}, não há derivada interna para casar e a integração por partes costuma ser a ferramenta certa. Para uma explicação passo a passo com mais exemplos, leia o guia completo de integração por substituição.
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Substituição (mudança de variável)
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