Integral de 1/x: fórmula, dedução e exemplos
A integral de 1/x é ln|x| + C. Veja por que a regra da potência falha aqui, de onde vem o módulo e como lidar com 1/(ax + b) e com f'/f.
Potências, raízes e funções racionais Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Primitiva
- \ln\lvert x\rvert + C
- Válida para
- x \ne 0
- Forma linear
- \int \dfrac{1}{ax + b}\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert ax + b\rvert + C
- Forma logarítmica
- \int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C
- Área de 1 a e
- 1
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A integral de \dfrac{1}{x} é \ln\lvert x\rvert + C. É a única potência de x que a regra da potência inversa não resolve, e o logaritmo natural preenche essa lacuna.
Gráfico de 1/x e de sua primitiva
À direita, \frac{1}{x} > 0 e \ln x cresce. À esquerda, \frac{1}{x} < 0 e \ln\lvert x\rvert decresce quando você anda para a direita. As inclinações batem com as alturas nos dois casos.
Por que a regra da potência falha
A regra da potência inversa diz que \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C. Para \frac{1}{x} = x^{-1} isso daria \frac{x^0}{0}, que não está definido. Nenhuma potência de x tem derivada x^{-1}, porque a derivada de x^0 = 1 é 0.
A função que tem derivada \frac{1}{x} é o logaritmo natural. A página da derivada de ln x prova que \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} para x > 0.
De onde vem o módulo
Para x < 0, \ln x não está definido, mas \ln(-x) está. Derive-o com a regra da cadeia:
Então \ln x funciona para x > 0 e \ln(-x) funciona para x < 0. Juntos, eles formam \ln\lvert x\rvert.
Verificação por derivação
Para x > 0: \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}. Para x < 0: \frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{x}. Os dois dão \frac{1}{x}, então \frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x} para todo x \ne 0.
Variantes por substituição
Com u = ax + b:
De modo mais geral, sempre que o numerador for a derivada do denominador, a resposta é um logaritmo:
Esse único padrão dá a integral de tg x, a integral de cotg x e a integral de x/(x² + 1).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1. \int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln\lvert x\rvert + C.
Exemplo 2. \int \frac{1}{3x - 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3x - 2\rvert + C.
Exemplo 3. \int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x}\,dx = \ln\lvert x^2 + 3x\rvert + C, já que o numerador é a derivada do denominador.
Exemplo 4: definida, lado positivo. \int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0.693.
Exemplo 5: definida, lado negativo. \int_{-3}^{-1} \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert -1\rvert - \ln\lvert -3\rvert = -\ln 3. A resposta é negativa porque ali a curva fica abaixo do eixo.
Erros comuns
- Usar a regra da potência. \frac{x^0}{0} não tem sentido. Use \ln\lvert x\rvert.
- Esquecer o módulo quando x pode ser negativo.
- Integrar passando pelo 0. \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx não é \ln 1 - \ln 1 = 0. A integral diverge.
- Confundir com \frac{1}{x^2}. \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C, e não um logaritmo. Veja a integral de 1/x².
- Esquecer o \frac{1}{a} em \int \frac{1}{ax + b}\,dx.
Para uma integral com logaritmo no sentido oposto, veja a integral de ln x.
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Seno, cosseno, eˣ e 1/x
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